1970　室蘭工業大学MathJax

【１】　次の$\boxed{}$を適当な数または式で埋めよ．

(1)　$3$点$(0,2)\text{，}(1,1)\text{，}(1,-1)$を通る円の方程式は$\boxed{}$である．

【１】　次の$\boxed{}$を適当な数または式で埋めよ．

(2)　${(2x+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^5$を展開したときの$x^3$の係数は$\boxed{}$である．

【１】　次の$\boxed{}$を適当な数または式で埋めよ．

(3)　関数$x\sqrt{x^2+1}+{\log }_e(x+\sqrt{x^2+1})$の導関数は$\boxed{}$である．

【１】　次の$\boxed{}$を適当な数または式で埋めよ．

(4)　$1$個の硬貨を$6$回投げたとき，$1$回だけ表の出る確率は$\boxed{}$である．

【２】　次の条件イ，ロ，ハをすべて満たす$f(x)$を求めよ．

イ.　$f(x)$は整数を係数とする$x$の$4$次の整式であって，$x^2-2x$でこの整式を割ったときの余りは$2x+2$である．

ロ.　関数$f(x)$のグラフは$y$軸に関して対称であって，$x$軸と相異なる$4$点で交わる．

ハ.　$f(1)\geqq -2$

【３】　$3$角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さは，$\mathrm{AB}=1\text{，}\mathrm{BC}=2\text{，}\mathrm{CA}=\sqrt{3}$である．正$3$角形$\mathrm{PQR}$を，辺$\mathrm{PQ}$上に点$\mathrm{C}$が，辺$\mathrm{QR}$上に点$\mathrm{A}$が，辺$\mathrm{RP}$上に点$\mathrm{B}$があるようにつくり，$\angle \mathrm{QAC}=\theta$とおくとき，

(1)　正$3$角形$\mathrm{PQR}$の$1$辺の長さを$\theta$で表せ．

(2)　$\theta$が$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，正$3$角形$\mathrm{PQR}$の面積の最大値を求めよ．

【４】　$a$は$-1\text{，}0\text{，}1$のいずれでもない実数とする．このとき，

$x_1=a\text{，}{x}_2=b\text{，}{x}_{n+2}=(a+{\displaystyle \frac{1}{a}})x_{n+1}-x_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められる数列$\{x_n\}$について，

(1)　$x_n$を$a\text{，}b$で表せ．

(2)　この数列が収束するために，$a\text{，}b$が満たすべき条件を求めよ．

【５】　すべての実数$x$に対して，等式

$f(x)=\sin x+{\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\sin (x-t)dt$

が成り立つように，連続な関数$f(x)$を定めよ．