1970　東京大学　1次試験MathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　すべての実数$x$に対して$x^2-2ax+1\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}{(x-1)}^2$が成り立つためには，実数$a$が$\boxed{}\leqq a\leqq \boxed{}$を満足することが必要かつ十分である．

　上の不等式がすべての実数$x$に対して成り立ち，かつ$x$のある正の値に対して等号が成り立つのは$a=\boxed{}$の場合であって，その$x$の値は$\boxed{}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$m$を任意の実数とするとき，$x\text{，}y$の方程式

$y=m{x}^2-(2m+\boxed{})x-\boxed{}(m-1)$

の表す曲線は，すべて相異なる$2$点$(3,0)\text{，}(\boxed{},\boxed{})$を通る．

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$a$を実数とし，$x$についての方程式

$x(x+2)(x+4)+a=0$

を考える．これが$3$個の相異なる実根をもつためには，$\boxed{}\sqrt{3}<a<\boxed{}\sqrt{3}$であることが必要かつ十分である．また$a=\boxed{}$のとき，$3$根のうち$2$根が純虚数$\pm \sqrt{\boxed{}}i$となる．

【４】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　自然数$n$の異なる正の約数のすべての積を$f(n)$で表わす．ただし，$n$自身も$n$の約数とみる．いま$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を$1$または$-1$として，等式

$12={f(12)}^a{f(6)}^b{f(4)}^c{f(2)}^d$

を成り立たせるには$a=\boxed{}\text{，}b=\boxed{}\text{，}c=\boxed{}\text{，}d=\boxed{}$とすればよい．

【５】　　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　右図の(イ)，(ロ)について，点$\mathrm{A}$から出発して点$\mathrm{B}$に到達する行き方は全部で何通りあるかを考える．ただし，道は必ず左から右へ，または下から上へ進み，斜めの道は左下から右上へ進むものとする．このとき

(1)　点$\mathrm{C}$を通ってゆく行き方は，(イ)については$\boxed{}$通り，(ロ)については$\boxed{}$通りある．

(2)　点$\mathrm{C}$を通っても通らなくてもよいとすれば，(イ)については$\boxed{}$通り，(ロ)については$\boxed{}$通りの行き方がある．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　次の条件(イ)，(ロ)を満足する方程式$a{x}^2-2bx+c=0$の全体を考える．

(イ)　$a\text{，}b\text{，}c$はいずれも正の整数である．

(ロ)　根はすべて実数であって区間$0<x<1$の中にある．

　このとき次のことが成り立つ．

(1)　$a$と$b$の大小については，次の中で番号$\boxed{}$のものが正しい．

1　つねに$a>b$．

2　つねに$a<b$．

3　1，2のいずれでもない．

(2)　$b$と$c$の大小については，次の中で番号$\boxed{}$のものが正しい．

1　つねに$b>c$．

2　つねに$b<c$．

3　1，2のいずれでもない．

(3)　$c$と$a$の大小については，次の中で番号$\boxed{}$のものが正しい．

1　つねに$c>a$．

2　つねに$c<a$．

3　1，2のいずれでもない．

(4)　$a$のとり得る最小の数は$\boxed{}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　複素数$z$を表す平面上で，方程式$z\bar{z}+3i(z-\bar{z})+5=0$は点$\boxed{}+\boxed{}i$を中心とする半径$\boxed{}$の円を表わす．それは$|z+i|=\boxed{}|z-2i|$を満足する点$z$の軌跡である．ただし，$\bar{z}$は$z$に共役な複素数を意味する．

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　放物線$y={(x-3)}^2$に接し，$x$軸，$y$軸のいずれともその正の部分で交わる直線を考える．このような直線の中で，$x$軸，$y$軸とその直線とがつくる$3$角形の面積を最も大きくするものは$y=\boxed{}x+\boxed{}$である．またそのとき，その$3$角形の面積は$\boxed{}$であり，この面積は放物線と$x$軸，$y$軸とで囲まれた部分の面積の$\boxed{}$倍にあたる．

【４】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　定数$\lambda$を適当に選んで，次の条件(イ)と(ロ)を満足する多項式$P\left(x\right)$が存在するようにしたい．

(イ)　$P(x)$はその次数が$4$より大きくなく，かつ恒等的には$0$とならない．

(ロ)　$x$のすべての値に対して$(x^2+1)P^{″}(x)=\lambda P(x)$が成り立つ．ただし，$P^{″}(x)$は$P(x)$の第$2$次導関数を表わす．

　そのような$\lambda$の値は$4$個あるが，それらを${\lambda }_1\text{，}{\lambda }_2\text{，}{\lambda }_3\text{，}{\lambda }_4$とし，${\lambda }_1<{\lambda }_2<{\lambda }_3<{\lambda }_4$とすれば

${\lambda }_1=\boxed{}\text{，}{\lambda }_2=\boxed{}\text{，}{\lambda }_3=\boxed{}\text{，}{\lambda }_4=\boxed{}$

【５】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　各項が$1\text{，}2\text{，}3$のどれかであるような項数$4$の数列$(a_1,a_2,a_3,a_4)$の全体を$S$とする．このとき

(1)　$S$に属する数列は$\boxed{}$個ある．

(2)　$S$に属する数列$(a_1,a_2,a_3,a_4)$で条件$a_1\leqq a_2\leqq a_3\leqq a_4$を満足するものは$\boxed{}$個ある．

(3)　$S$に属する数列で$1\text{，}2\text{，}3$のすべてが現れるものは$\boxed{}$個ある．

(4)　$S$に属する数列でその項の和が$10$であるものは$\boxed{}$個ある．