1970　東京大学　2次試験MathJax

【１】　次の文を読んで後の設問に答えよ．

　$k$を$2$から$10$までの任意の整数とするとき，正の整数はすべて$a_n\times k^n+\cdots +a_1\times k+a_0$のようにかくことができる．ただし，$a_0\text{，}{a}_1\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$を$0$から$k-1$までの整数とする．したがって，上の式でかかれる数を$a_n\cdots a_1{a}_0$ように，数字$a_0\text{，}{a}_1\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$の単なる配列で表わすことができる．$10$進法というのは，$k$を$10$にとったときのことであるが，$k$を$2$にとれば$2$進法といわれる記数法になる．

設問

(1)　$10$進法で$365$とかかれる数を$2$進法でかけばどうなるか．

(2)　$2$進法で$101101$とかかれる数と$1011$とかかれる数との積は$2$進法でどのようにかかれるか．

(3)　正の整数$x$が$2$進法でかかれているとき，それを右から$3$けたずつ区切っていき，$2$進法で各区切りの表わす数$y_0\text{，}{y}_1\text{，}\cdots \text{，}{y}_m$を考える．もしこれらの和$y_m+\cdots +y_1+y_0$が$7$で割りきれるならば，$x$も$7$で割りきれることを証明せよ．

【２】　$2$点$\mathrm{A}(0,1)\text{，}\mathrm{B}(0,11)$が与えられている．いま$x$軸上の正の部分に点$\mathrm{P}(x,0)$をとって$\angle \mathrm{APB}$の大きさを$30°$以上にしたい．$x$をどのような範囲にとればよいか．

【３】　$25m$隔てて$2$地点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$がある．いま$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}2$人がそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$に立ち，同時に向かいあって走り出す．走り出してから$t$秒後の$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の速度を，$\mathrm{P}$から$\mathrm{Q}$に向う方向を正の向きとして，それぞれ$um/\text{秒，}vm/\text{秒}$とすれば，$u$は一定で$v={\displaystyle \frac{3}{4}}{t}^2-3t$である．このとき，$\mathrm{B}$が$\mathrm{Q}$にかえるまでに$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$に出あうかまたは追いつくつためには，$u$が少なくともどれほどの大きさでなければならないか．

【１】　$i$を虚数単位とし$a=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$とおく．また$n$はすべての自然数にわたって動くとする．このとき

(1)　$a^n$は何個の異なる値をとりうるか．

(2)　${\displaystyle \frac{(1-a^n)(1-a^{2n})(1-a^{3n})(1-a^{4n})(1-a^{5n})}{(1-a)(1-a^2)(1-a^3)(1-a^4)(1-a^5)}}$の値を求めよ．

【２】　$x$軸上原点から出発し，貨幣を投げて表が出たら右へ$1$だけ進み，裏が出たら左へ$1$だけ進むことにする．

(1)　これを$4$回くり返したとき$x=0\text{，}\pm 1\text{，}\pm 2\text{，}\pm 3\text{，}\pm 4$の各点にいる確率を求めよ．

(2)　一般にこれを$n$回くり返したとき$x=n-2$にいる確率と$x=n-4$にいる確率とを求めよ．

【４】　図のように鉛直な側面をもった水槽が水平な床の上におかれており，水面の高さが床から$acm$である．いま側面に小さな穴をあけて水を水平方向に噴出させる．

(1)　穴の位置を水面から$hcm$にするとき，噴流は床のどの点に落ちるか．

(2)　噴流が穴の真下の床上の点から最も遠くに落ちるためには，穴の位置をどこにすればよいか．

(3)　穴の位置を一鉛直線上をいろいろに変えるときの，噴流の通過する範囲を求めよ．

　ただし，噴出した水は水平方向には等速度運動をし，鉛直方向には加速度$gcm/{\text{秒}}^2$の等加速度運動をする．また水面は$hcm$の深さの穴から噴出する水の初速度は$\sqrt{2gh}cm/\text{秒}$である．