1972　北海道大学MathJax

【１】　$2$つの集合

$\mathrm{M}=\{(x,y)|13x-227y=1\text{，}x\text{と}y\text{は整数}\}$

$\mathrm{N}=\{(x,y)|x=227k+35\text{，}y=13k+2\text{，}k\text{は整数}\}$

について

(1)　$\mathrm{N}\subseteq \mathrm{M}$であることを証明せよ．

(2)　$(x_0,y_0)$と$(x_1,y_1)$がともに$\mathrm{M}$の要素であるとき，$x_0-x_1$は$227$の倍数，$y_0-y_1$は$13$の倍数であることを証明せよ．

(3)　$\mathrm{M}\subseteq \mathrm{N}$であることを証明せよ．

【２】　空間に$3$点$\mathrm{A}(3,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,4,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,5)$がある．

(1)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面と，$xy$平面とのなす角を$\alpha$とするとき，$\tan \alpha$の値を求めよ．

(2)　原点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}(x,y,z)$とするとき，比$x:y:z$を求めよ．

【３】(1)　正の定数$a\text{，}b$に対して，正の数$x\text{，}y$が$ax+by\leqq 1$の条件を満たして変わるとき，積$xy$の最大値$M$を求めよ．

(2)　$a\text{，}b$が${({\log }_{10}a)}^2+2{\log }_{10}b=1$の条件を満たして変わるとき，(1)で求めた$M$の最小値を求めよ．

【４】　実数$x\text{，}y$に対し$z=x+yi\text{（}{i}^2=-1\text{）}$とする．

(1)　$l\text{，}m\text{，}n$が実数の定数で，$x\text{，}y$が$lx+my=n$を満たすとき，$z$と$\bar{z}$の間の関係式を求めよ．

(2)　複素数$c=a+bi$（$a\text{，}b$は実数の定数）と正の定数$r$について，$z$が$(z+\bar{c})(\bar{z}+c)=r$を満たすとき，$x$と$y$の間の関係式を求め，これを図示せよ．ただし，$\bar{z}\text{，}\bar{c}$はそれぞれ$z\text{，}c$の共役複素数である．

【５】(1)　$a>0$のとき$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{n}{{(1+a)}^n}}=0$となることを証明せよ（$n$は自然数）．

(2)　無限級数${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{3k+4}{2^k}}$の和を求めよ．

【６】　放物線$y=x^2$上に$2$定点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$がある．$\mathrm{P}$は放物線上で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$との間にある点で，放物線と弦$\mathrm{AP}$とで囲まれる図形の面積$S_1$と，放物線と弦$\mathrm{PB}$とで囲まれる図形の面積$S_2$との和が最小になるようにとった点である．

(1)　$S_1$と$S_2$の比を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$での放物線の接線に垂直な直線と，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線とのなす角を求めよ．

【３】　${|z|}^2+{|w|}^2=1$を満たす複素数$z\text{，}w$に対して，$u=1+i+2zw$とする（ただし，$i^2=-1$）．

(1)　$z\text{，}w$が実数値のみをとって動くとき，$u$を表わす点は複素平面上でどんな線を描くか．図示せよ．

(2)　$z\text{，}w$が複素数であるとき，$u$を表わす点の存在する領域を複素平面上に図示せよ．

【４】(1)　$2$直線$r\cos (\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{6}})=3\text{，}r\sin \theta =3$の交点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}(2,{\displaystyle \frac{5\pi }{6}})$を通る直線の極方程式を求めよ．

(2)　(1)で求めた直線$\mathrm{AB}$上の動点$\mathrm{P}(r_1,{\theta }_1)$と極$\mathrm{O}$とを結ぶ線分$\mathrm{OP}$上に正$3$角形$\mathrm{OPQ}$をつくるとき，頂点$\mathrm{Q}$の軌跡の極方程式を求めよ．

【５】　$x$の関数$y=x^n{e}^{-x^2}$（ただし$n$は整数で，$e$は自然対数の底である）について

(1)　$n<0$のとき，$y$は極値をとらないことを証明せよ．

(2)　$y$が$x=0$で極大値をとるとき，$n$はどんな値か．

(3)　$y$が$x=0$で極小値をとるとき，$y$の極大値を求めよ．

【６】　微分可能な関数$y=f(x)$のグラフ上の任意の点$\mathrm{P}$における接線と$x$軸との交点を$(u,0)\text{，}$点$\mathrm{P}$より$x$軸に下ろした垂線の足を$(x,0)$とする．$x>0\text{，}y>0$の範囲で，次のおのおのの場合における$f(x)$を求めよ．ただし，$f(2)=1$とする．

(1)　$u-x=2$であるとき．

(2)　$ux=2$であるとき．