1972　室蘭工業大学MathJax

【１】　次の$\boxed{}$内を埋めよ．

(1)　$2$直線$x+3y-1=0\text{，}2x-5y+7=0$の交点を通り，直線$4x-5y+8=0$に垂直な直線の方程式は$\boxed{}=0$である．

【１】　次の$\boxed{}$内を埋めよ．

(2)　$2$円

$x^2+y^2+3x+3y-8=0\text{，}{x}^2+y^2+7x+6y-10=0$

に共通な弦の長さは$\boxed{}$である．

【１】　次の$\boxed{}$内を埋めよ．

(3)　${(x^2+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^7$の展開式における$x^5$の係数の値は$\boxed{}$である．

【１】　次の$\boxed{}$内を埋めよ．

(4)　$a\text{，}b$は定数で$\underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}}=1$ならば，$a$の値は$\boxed{}$である．

【１】　次の$\boxed{}$内を埋めよ．

(5)　曲線$xy=1$上の点$(2,{\displaystyle \frac{1}{2}})$における接線の方程式は$\boxed{}=0$である．

【２】(1)　正の整数の各けたの数の積はその正の整数より大きくないことを証明せよ．

(2)　正の整数$x$の各けたの数の積が$x^2-24x-15$に等しいとき，$x$を求めよ．

【３】　$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$は正の鋭角で公差${\displaystyle \frac{\pi }{12}}$の等差数列をなし，$\tan \alpha \text{，}\tan \beta \text{，}\tan \gamma$は等比数列をなすとき，$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を求めよ．

【４】　長方形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AB}$の$n$等分点を$\mathrm{B}$から$\mathrm{A}$の方へ順に${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{n-1}$とし，辺$\mathrm{AD}$の$n$等分点を$\mathrm{A}$から$\mathrm{D}$の方へ順に${\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{Q}}_{n-1}$とする．線分$\mathrm{B}{\mathrm{Q}}_k$と線分$\mathrm{C}{\mathrm{P}}_k$の交点を${\mathrm{R}}_k$とすれば，${\mathrm{R}}_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{）}$は$1$つのだ円の上にあることを証明せよ．

【５】　$m\text{，}n$は$0$または正の整数とし

$I(m,n)={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^m{(1-x)}^{n}dx$

とおく．

(1)　$I(m,n)=I(n,m)$を証明せよ．

(2)　$I(m,n)$に部分積分法を適用して，$I(m,n)$を$I(m,n-1)$で表せ．

(3)　$I(m,n)$を求めよ．