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1972 東京大学 1次試験
文科
【1】 次の にあてはまる数は何か.
68 人の人に, A ,B ,C の 3 都市への旅行の経験を調査したところ,全員が A ,B ,C のうち少なくとも 1 つへは行ったことがあった.また B と C の両方, C と A の両方, A と B の両方へ行ったことのある人の数はそれぞれ, 21 人, 19 人, 25 人であり, B と C の少なくとも一方, C と A の少なくとも一方, A と B の少なくとも一方へ行ったことのある人の数は,それぞれ 59 人, 56 人, 60 人であった.このとき A , B ,C へ行ったことのある人の数はそれぞれ 人, 人, 人であり, A ,B , C の全部へ行ったことのある人の数は である.
【2】 次の にあてはまる数は何か.
複素数平面上の正方形 ABCD がある.その 4 頂点 A ,B ,C ,D を表す複素数をそれぞれ α , β ,γ , δ とする. a=i ,γ =10+25 ⁢i , |β |> |δ | ならば β = + ⁢ i ,δ = + ⁢ i である.
【3】 次の にあてはまる数は何か.
3 本の直線 x= 0, y=0 および x+ 2⁢y= π で囲まれた 3 角形の周上での sin⁡ x⁢cos⁡ 2⁢y+ cos⁡(x +2⁢y ) の最大値は であり,最小値は である.また,最小値を与える点の x 座標は ⁢ π ,y 座標は ⁢ π である.
【4】 次の にあてはまる数は何か.
図の立方体の 1 辺の長さは 1 である.点 P が辺 CD 上を C から D まで動くとき, ▵ABP の面積 S は CP= において最小値 をとる.また S の最大値 を与える点は線分 CD 上に 個ある.
理科
放物線 y= ⁢ x2- 32 ⁢ x は,直線 y= ⁢ x との交点 ( , 12 ) において,接線 y= 2⁢x+ をもつ.
2 点 P ,Q は時刻 t= 0 にそれぞれ点 (1 ,9) ,( -2,0 ) を出発して等速直線運動をする. P の速度ベクトルの x 成分は 2 ,y 成分は 1 であり, Q の速度の大きさは 5 である. P ,Q が出発後にある点で出会うとすると, Q の速度ベクトルの x 成分は ,y 成分は であり,そのとき出会う点は ( , ) である.
空間に図のような立方体 ABCD‐ EFGH とその対角線 AG に垂直な平面 α とがある.立方体の辺 AE と平面 α とのなす鋭角を θ とすると, cos= である.
AG に平行な光線によって平面 α 上にできるこの立方体外の影は正 6 角形になる.立方体の 1 辺の長さが 3 のとき,その影の面積は ⁢ である.
ただし,根号 の中には 1 けたの正の整数を入れること.
10 個の関数 f1 ⁡(x ), f2⁡ (x) ,⋯ ,f10 ⁡(x ) は任意の実数 x に対して
fj+ 1⁡ (x)= 1 2⁢ [f j⁡( x+1) +fj ⁡(x- 1)] ,( j=1 ,⋯ ,9 )
なる関係を満たしている.このとき
(1) もし, f1⁡ (x)= sin⁡ π 3⁢ x ならば 13 ⁢ f5⁡ (1) = 1 となる.
(2) また, 19 個の係数 c9 ,c8 , ⋯, c1 ,c0 ,c -1 , ⋯, c-9 を適当に選べば,任意の関数 f 1⁡( x) に対して
f10⁡ (x)= c9⁡ f1⁡ (x+9 )+c8 ⁢f1 ⁡(x+ 8)+⋯ +c- 9⁢ f1⁡( x-9)
がすべての x に対して成り立つ.これらの係数のうち, c0 ,c1 , c9 に対して
29⁢ c0= , 29⁢ c1= , 29⁢ c9=
となる.