1972　東京大学　2次試験MathJax

【１】　空間に座標系が定められていて，$z$軸上に$2$点$\mathrm{A}(0,0,6)\text{，}\mathrm{B}(0,0,20)$が与えられている．$xy$平面上の点$\mathrm{P}(x,y,0)$で，

$0\leqq x\leqq 15\text{，}0\leqq y\leqq 15\text{，}\angle \mathrm{APB}\geqq 30°$

を満たすものの全体がつくる図形の面積を求めよ．

【２】　平面上の$3$角形$\mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$に垂直な直線をそれぞれ$h\text{，}k$とする．$\mathrm{B}$の$k$に関する対称点を${\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}\mathrm{C}$の$h$に関する対称点を${\mathrm{C}}^{\prime }$とする．ベクトル$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}\overrightarrow{b^{\prime }}=\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{B}}^{\prime }}\text{，}\overrightarrow{c^{\prime }}=\overrightarrow{\mathrm{A}{\mathrm{C}}^{\prime }}$の間に

$\overrightarrow{b^{\prime }}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{c^{\prime }}=m\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$（$m$は正の整数），$|\overrightarrow{b}|=1$

が成り立つとき，$m\text{，}\angle \mathrm{BAC}\text{，}$および$|\overrightarrow{c}|$を求めよ．ただし，$|\overrightarrow{a}|$はベクトル$\overrightarrow{a}$の長さを表す．また$0<\angle \mathrm{BAC}<\pi$とする．

【３】　たがいに外接する定円$C\text{，}{C}^{\prime }$が共通接線$l$の同じ側にあるとする．図のように

$C\text{，}{C}^{\prime }\text{，}l$に接する円を$C_1$，

$C\text{，}{C}_1\text{，}l$に接する円を$C_2$，

$\cdots \cdots$

$C\text{，}{C}_{n-1}\text{，}l$に接する円を$C_n$，

$\cdots \cdots$

とする．このとき円$C_n$の半径を$r_n$として，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2{r}_n$を，円$C$の半径$R$と円$C^{\prime }$の半径$R^{\prime }$とを用いて表せ．

【４】　複素数$z\text{，}w$の間に$w=z^2$なる関係があり，複素平面において点$z$は$4$点$1+i\text{，}2+i\text{，}2+2i\text{，}1+2i$を頂点とする正方形の内部を動くものとする．このとき，複素平面において，点$w$の動く範囲の面積を求めよ．ただし，$i$は虚数単位を表す．

【３】　$k$を実数の定数，$f(x)=x^2(x+8)\text{，}g(x)=(x^2-1)(x+4)$とするとき，$x$に関する方程式$f(x)-kg(x)=0$の相異なる実根の個数を求めよ．

【５】　$h(x)$は$-\infty <x<\infty$で$2$回微分可能な関数で，$f(x)$がどのような$1$次関数であっても

$u(x)={\displaystyle {\int }_0^x}h(t)f(t)dt+h(x){\displaystyle {\int }_x^1}f(t)dt$

とおけば

(ⅰ)　${\displaystyle \frac{d^{2}u}{{dx}^2}}=f(x)$　および　(ⅱ)　$u(0)=0$

が成り立つ．このとき，$h(x)$を求めよ．

【６】　図の長方形$\mathrm{A}\mathrm{B}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_5$はある国境の町を表し，各線分は道路を表す．図の地点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_9$には外国への通路が開かれている．いま，ある犯人が$\mathrm{B}$から外国に向かって逃走しようとしているが，この犯人は${\mathrm{P}}_j\text{（}1\leqq j\leqq 9\text{）}$以外の各交差点（$\mathrm{B}$を含む）において，確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$ずつで真東または北東に進路を選ぶ．この犯人を捕えるために$3$人の警官を${\mathrm{P}}_j\text{（}1\leqq j\leqq 9\text{）}$のうちの適当な$3$地点に配置しようとする．どの$3$点に配置すれば，犯人を捕える確率$p$が最大となるか．また，そのときの$p$の最大値を小数第$2$位まで求めよ．ただし，犯人は警官に出会わないで国境の地点に達すれば，無事に逃げおおせるものとする．