1973　北海道大学MathJax

【１】　$x\text{，}y$はともに整数とする．

(1)　$y={\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^2+4$および$10<x+y<100$を満たす$(x,y)$の組の個数を求めよ．

(2)　$y={\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^2+4$および$|xy|\leqq a$を満たす$(x,y)$の組の個数が$7$であるとき，$a$の最小値を求めよ．

【２】　$z=-1+ti\text{，}$ただし$i=\sqrt{-1}\text{，}t>0$とする．数列$z\text{，}{z}^2\text{，}\cdots \text{，}{z}^n\text{，}\cdots$のうちで最初に実数となる項が$z^{12}$であるとき

(1)　$z$の偏角$\theta$を求めよ．

(2)　$t$の値を求めよ．

【３】(1)　$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}9$の$9$個の数字から，異なる$3$個の数字を取り出して$3$けたの整数をつくるとき，$654$より小さい整数は何個できるか．

(2)　$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$から，差が$2$以下である任意の異なる$2$数をとり，その積をつくる．これらの積の逆数の総和を求めよ．ただし$n\geqq 4$とする．

【４】(1)　点$(k,0)\text{（}|k|<3\text{）}$を通り，$x$軸に垂直なだ円${\displaystyle \frac{x^2}{9}}+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$の弦がある．この弦を直径とする円の方程式を求めよ．

(2)　$1$点$\mathrm{P}(a,b)$が与えられたとき，(1)で求めた円のうちで点$\mathrm{P}$を通るものが存在するための必要十分な条件を求め，さらに点$\mathrm{P}$の存在する領域を図示せよ．

【５】　

$f(x)=4x^2-3ax+4{\displaystyle {\int }_0^1}tf(t)dt\text{，}$

$g(x)+{\displaystyle {\int }_0^x}(t+1)g^{\prime }(t)dt=x^2+4x+a$

のとき

(1)　$f(x)$と$g(x)$を求めよ．

(2)　方程式$f(x)-xg(x)=0$の$2$根を$\alpha \text{，}\beta$として，$h(a)={\displaystyle \frac{1}{\beta -\alpha }}{\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}(3x^2-2x+a^2)dx$の最小値を求めよ．

【２】　$z=-1+ti$，ただし$i=\sqrt{-1}\text{，}t>0$とする．数列$z\text{，}{z}^2\text{，}\cdots \text{，}{z}^n\text{，}\cdots$のうちで最初に実数となる項が$z^{12}$であるとき

(1)　$z$の偏角$\theta$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{t(1-t^2)}{{(1+t^2)}^2}}$の値を求めよ．

【３】　$3$角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さをそれぞれ$\overline{\mathrm{AB}}=6\text{，}\overline{\mathrm{BC}}=2\sqrt{13}\text{，}\overline{\mathrm{CA}}=8$とする．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積$(\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}})$を求めよ．

(2)　$3$角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=l\overrightarrow{\mathrm{AB}}+m\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と表わすとき，$l\text{，}m$の値を求めよ．

【４】　${}^{\text{(イ)}}x>0\text{では}\log x<2\sqrt{x}\text{である}$から，$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$である．よって，${}^{\text{(ロ)}}\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0\text{である}$．さらに$x^{\frac{1}{x}}=e^{\text{(ハ)}\boxed{}}$に注意すれば，指数関数は連続であるから$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{\frac{1}{x}}=1$となることがわかる．

(1)　下線部(イ)の理由を述べよ．

(2)　下線部(ロ)の理由を述べよ．

(3)　(ハ)の空欄を埋めよ．

(4)　$0<x<+\infty$における$x^{\frac{1}{x}}$の極値を求めよ．

(5)　$f(x)=x^{\frac{1}{x}}$とするとき，$\underset{x\to +0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$を求めよ．

【５】　$f(x)$は$-\infty <x<+\infty$で定義された正の値をとる微分可能な関数で，$f(x)=x^2+2+2{\displaystyle {\int }_1^x}tf(t)dt$を満たしている．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と，$2$直線$y=1\text{，}y=3$とで囲まれる部分を$y$軸のまわりに回転して得られる立体の体積を求めよ．

【６】　箱の中に$1\text{，}2\text{，}⃛\text{，}9$の数字を$1$つずつ書いた同形同質のカードが$9$枚入っている．この箱から$1$枚のカードを無作為に取り出し，その数字を調べてから，もとの箱に戻す．これを$3$回くり返して，取り出したカードの数字の最大値を$X$とする．

(1)　$X=1$となる確率は$\boxed{}$で，$X\leqq 3$となる確率は$\boxed{}$であり，また$X=3$となる確率は$\boxed{}$である．これらの空欄を埋めよ．

(2)　$X=k$となる確率を求めよ．ただし$k$は$2\leqq k\leqq 9$なる整数である．

(3)　$X$の期待値を求めよ．