1973　室蘭工業大学MathJax

【１】　次の$\boxed{}$を埋めよ．

(1)　$x^4+a{x}^3+b{x}^2-3x-2$を$x^2-1$で割った余りが$x+2$であるとき，$a=\boxed{}\text{，}b=\boxed{}$である．

【１】　次の$\boxed{}$を埋めよ．

(2)　$\underset{x\to +\infty }{\lim }(x\sqrt{x^2+1}-x^2)=\boxed{}$．

【１】　次の$\boxed{}$を埋めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{x}{1+x^2}}$の最大値は$\boxed{}$である．

【１】　次の$\boxed{}$を埋めよ．

(4)　${\displaystyle {\int }_1^2}\log xdx=\boxed{}$．

【１】　次の$\boxed{}$を埋めよ．

(5)　$2$個のさいころを投げるとき，目の和が$5$となる確率は$\boxed{}$である．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c$は正の数で，$a+b+c=1$のとき

${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}}\geqq 9$

であることを証明せよ．

【３】　$a$は正の定数である．$x>a$のとき

$\log {\displaystyle \frac{x}{a}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}(x-a)({\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{a}})$

であることを証明せよ．

【４】　$3$角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c\text{，}$その面積を$S$とするとき

$\cot A+\cot B+\cot C={\displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2}{4S}}$

であることを証明せよ．

【５】　曲線$y=f(x)$が次の条件を満たすとき，$f(x)$を求めよ．

(イ)　この曲線上の任意の点$\mathrm{P}$における接線の傾きと，点$(0,2)$と$\mathrm{P}$を通る直線の傾きの積は$1$に等しい．

(ロ)　この曲線は$x>0$の範囲にあって，点$(1,4)$を通る．