1973　東京大学　1次試験MathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　複素平面上で複素数

$z_1={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+i}{2}}\text{，}{z}_2={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}(1+i)\text{，}{z}_3={\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}i}{2}}}$

によって表される点をそれぞれ${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$とする．また$\alpha ={\displaystyle \frac{2+2\sqrt{3}i}{3}}$として，複素数$\alpha z_1\text{，}\alpha z_2\text{，}\alpha z_3$によって表される点をそれぞれ${\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_2\text{，}{\mathrm{Q}}_3$とする．このとき

$\angle {\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3=\boxed{}\pi \text{，}▵{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3\text{の面積}=\boxed{}\text{，}$

$▵{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2{\mathrm{Q}}_3\text{の面積}=\boxed{}$

である．また原点を$\mathrm{O}$とすると，有向線分$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_2}$と実軸の正方向との間の角は$\boxed{}\pi$である．ただし角はいずれも$0$以上かつ$\pi$以下の値となるようにせよ．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　図に示すように，池のまわりに$1$周$200m$の道があり，$2$点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$の間に長さ$40m$の橋がかかっている．${\mathrm{P}}_1$から${\mathrm{P}}_2$に池の周囲を通って行くときは，どちらをまわっても同じ距離である．${\mathrm{P}}_1$から周にそって左側$20m$のところに点$\mathrm{A}\text{，}$右側$30m$のところに点$\mathrm{B}$がある．$\mathrm{A}$から池を左に見ながら周にそって距離$xm$進んだところにある点を$\mathrm{Q}$とする$\text{（}0\leqq x<200\text{）}$．$\mathrm{Q}$から$\mathrm{A}$への最短経路の長さと$\mathrm{B}$への最短経路の長さとの和を$f(x)$とする．$f(x)$のグラフが$x$軸に平行になる区間は$\boxed{}$か所で，$f(x)$が最大値$\boxed{}$をとるような$x$の範囲は$\boxed{}\leqq x\leqq \boxed{}$である．

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$f(x)={\displaystyle \frac{2a{x}^2-(a-2)x-1}{a{x}^2-(a^2-1)x-a}}$（$a$は定数）とする．

(1)　$a=\boxed{}$のとき，$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$は存在しない．

(2)　$a=\boxed{}$のとき，$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}$である．

(3)　$a=\boxed{}$のとき，$\underset{x\to \frac{1}{2}}{\lim }f(x)$は正数であり，そのとき$\underset{x\to \frac{1}{2}}{\lim }f(x)=\boxed{}$である．

【４】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　放物線$p_1:y=x^2$および放物線$p_2:y=2x^2$を考える．$p_2$上の$1$点$(a,2a^2)$におけるこの放物線の接線が放物線$p_1$によって切り取られてできる線分の中点の座標は$(\boxed{}a,\boxed{}{a}^2)$である．また，この線分と放物線$p_1$とが囲む部分の面積は$\boxed{}\sqrt{2}{|a|}^{\boxed{}}$である．

【１】　　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{3}{y}}+{\displaystyle \frac{1}{z}}=2\text{，}x\text{，}y\text{，}z\text{：正の整数}$

を満たす点$(x,y,z)$のうちで，$y=2$となるものは$\boxed{}$個あり，$y=3$となるものは$\boxed{}$個あり，$y=4$となるものは$\boxed{}$個ある．そのほか，$y=\boxed{}$となるものが$2$個あり，これらですべての場合がつくされている．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　複素平面上に正$6$角形$\mathrm{ABCDEF}$がある．その頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を表す複素数をそれぞれ$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma \text{，}\delta$とするとき，$\alpha =0\text{，}\beta =4-3i$であり，$\delta$の実部（実数部分ともいう）が正であるならば$\gamma =(\boxed{}+\boxed{}\sqrt{3})+(\boxed{}+\boxed{}\sqrt{3})i$である．

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$4$次関数$y=f(x)$がある．この関数のグラフは$x$軸と$2$回交わる．また，この関数は，$x$の$2$つの値$a$および$0$で極大となり，$a<0\text{，}f(0)=-1$である．このとき，方程式$f(x)=0$は$\boxed{}$個の負根をもつ．また，導関数$y=f^{\prime }(x)$の定数項は$\boxed{}$であり，そのグラフは$x$軸と$\boxed{}$回交わる．さらに，$x<0$の範囲で，$y=f(x)$のグラフと$y=f^{\prime }(x)$のグラフとは$\boxed{}$回交わる．

【４】　下記の(1)〜(2)のそれぞれについて，命題$\mathrm{C}$が成り立つために

命題$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$のいずれもが十分条件であるならば$1$

命題$\mathrm{A}$は十分条件であるが，命題$\mathrm{B}$は十分条件でないならば$2$

命題$\mathrm{B}$は十分条件であるが，命題$\mathrm{A}$は十分条件でないならば$3$

命題$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$それぞれは十分条件ではないが，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の両方が成り立つという命題が十分条件であるならば$4$

以上のどの場合でもないならば$5$

と答えよ．

(1)　複素数$\alpha \text{，}\beta$に関して

$\mathrm{A}:{\alpha }^2+{\beta }^2=0\mathrm{B}:\alpha \beta =0\mathrm{C}:\alpha =\beta =0\boxed{}$

(2)　実数$a\text{，}b$に関して

$\mathrm{A}:a+b>0\mathrm{B}:ab>0\mathrm{C}:a>0$かつ$b>0\boxed{}$

(3)　実数$a\text{，}b$に関して

$\mathrm{A}:a+b>2\mathrm{B}:ab>1\mathrm{C}:a>1$かつ$b>1\boxed{}$

(4)　実数$a\text{，}b$に関して

$\mathrm{A}:x(a+b)+x^2\geqq 0$がすべての実数$x$に対して成り立つ．

$\mathrm{B}:|a-b|\leqq x$がすべての正数$x$に対して成り立つ．

$\mathrm{C}:a=b\boxed{}$