1973　東京大学　2次試験MathJax

【１】　区間$1\leqq x\leqq 3$において次のように定義された関数$f(x)$がある．

$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{（}1\leqq x\leqq 2\text{）}\\ x-1& \text{（}2\leqq x\leqq 3\text{）}\end{array}$

　いま実数$a$に対して，区間$1\leqq x\leqq 3$における関数$f(x)-ax$の最大値から最小値を引いた値を$V(a)$とおく．このとき次の問に答えよ．

(1)　$a$がすべての実数にわたって動くとき，$V(a)$の最小値を求めよ．

(2)　$V(a)$の最小値を与えるような$a$の値を求めよ．

【２】　平面上に$1$辺の長さが$1$の正方形$S$がある．この平面上で$S$を平行移動して得られる正方形で，点$\mathrm{P}$を中心にもつものを$T(\mathrm{P})$とする．このとき，共通部分$S\cap T(\mathrm{P})$の面積が${\displaystyle \frac{1}{2}}$以上となるような点$\mathrm{P}$の存在範囲を図示せよ．また，この範囲の面積を求めよ．

【３】　図において$\mathrm{AB}=2a$とする．$\mathrm{AB}$を直径とする半円周上に点$\mathrm{P}$があるとする．$\mathrm{P}$から$\mathrm{AB}$に下した垂線の足を$\mathrm{Q}$とする．$▵\mathrm{APQ}$を$\mathrm{AB}$のまわりに回転してできる立体の体積の最大値を求めよ．

【４】　$4$角すい $\mathrm{V}‐\mathrm{ABCD}$があって，その底面$\mathrm{ABCD}$は正方形であり，また$4$辺$\mathrm{VA}\text{，}\mathrm{VB}\text{，}\mathrm{VC}\text{，}\mathrm{VD}$の長さはすべて相等しい．この$4$角すいの頂点,$\mathrm{V}$から底面に下した垂線$\mathrm{VH}$の長さは$6$であり，底面の$1$辺の長さは$4\sqrt{3}$である．$\mathrm{VH}$上に$\mathrm{VK}=4$なる点$\mathrm{K}$をとり，点$\mathrm{K}$と底面の$1$辺$\mathrm{AB}$とを含む平面で，この$4$角すいを$2$つの部分に分けるとき，頂点$\mathrm{V}$を含む部分の体積を求めよ．

【１】　$S$を中心$\mathrm{O}\text{，}$半径$a$の球とし，$\mathrm{N}$を$S$上の$1$点とする．点$\mathrm{O}$において線分$\mathrm{ON}$と${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$の角度で交わる$1$つの平面の上で，点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{O}$を中心とする等速円運動をしている.その角速度は毎秒${\displaystyle \frac{\pi }{12}}$であり，また$\overline{\mathrm{OP}}=4a$である．点$\mathrm{N}$から点$\mathrm{P}$を観測するとき，$\mathrm{P}$は見えはじめてから何秒間見えつづけるか．また$\mathrm{P}$が見えはじめた時点から見えなくなるなる時点までの，$\overline{\mathrm{NP}}$の最大値および最小値を求めよ．ただし球面$S$は不透明であるものとする．

【２】　$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_n$はおのおの$0\text{，}1\text{，}2$のどれかの値をとる．$f_1={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{x}_i\text{，}{f}_2={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{x_i}^2$のとき$f_k={\displaystyle \sum _{i=1}^n}{x_i}^k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を$f_1$と$f_2$を用いて表せ．

【５】　$t$は$1$より大きい実数とする．$xy$平面上において，不等式

(ⅰ)　$0<x$

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{t}{(1+t^2)x}}\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$

を同時に満たす点$(x,y)$全体のつくる図形の面積を$t$の関数と考えて$f(t)$とおく．$f(t)$の導関数$f^{\prime }(t)$を求めよ．

【６】　$x$のある$2$次関数のグラフが，原点において直線$y=x$に接するという．このグラフの上の点$(u,v)$における接線の傾きを$u\text{，}v$で表せ．ただし$(u,v)$は原点ではないとする．