1974　北海道大学MathJax

【１】　$a>0\text{，}a\ne 1$のとき，$f(x)=a^x-a^{-x}\text{，}g(x)=a^x+a^{-x}$とおく．

(1)　${\{f(x)\}}^2-{\{g(x)\}}^2$の値を求めよ．

(2)　$f(x)f(y)=4\text{，}g(x)g(y)=8$のとき，$g(x+y)$と$g(x-y)$の値を求めよ．

(3)　(2)のとき，$x\text{，}y$の値を求めよ．

【２】　$w=-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i\text{，}$ただし$i$は虚数単位とする．

(1)　複素平面上の$3$点$\mathrm{O}(0)\text{，}\mathrm{A}(w-z)\text{，}\mathrm{B}(w+z)$を頂点とする$3$角形が，$\mathrm{O}$を直角の頂点とする直角$2$等辺三角形となるような複素数$z$を求めよ．

(2)　(1)のとき，$3$角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．

【３】　$a_1=a\text{，}{a}_{n+1}=a_n+d\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$なる数列$\{a_n\}$が，ある$m$に対し

$\log a_m={\displaystyle \frac{1}{2}}\log a_{2m}={\displaystyle \frac{1}{3}}\log a_{4m}\text{（}\ne 0\text{）}$

であるとする．ただし対数は常用対数とする．

(1)　$a_{2m}$の値を求めよ．

(2)　$a$が整数のとき，その値を求めよ．

【４】　$60$人の学生は$3$つのクラブのいずれかに入っているものとし，それらのクラブに属する学生の集合を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とする．$n(\mathrm{A})=42\text{，}n(\mathrm{B})=36\text{，}n(\mathrm{C})=27\text{，}n(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\cap \mathrm{C})=10$のとき

(1)　$n(\bar{\mathrm{A}}\cup \bar{\mathrm{B}}\cup \bar{\mathrm{C}})$を求めよ．

(2)　$n\{(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})\cup (\mathrm{B}\cup \mathrm{C})\cup (\mathrm{C}\cap \mathrm{A})\}$を求めよ．

(3)　さらに$n(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})=26$のとき，$\mathrm{C}$のみに属する学生の数を求めよ．

　ただし，一般に$60$人の学生の部分集合$\mathrm{X}$に対し，$n(\mathrm{X})$は$\mathrm{X}$に属する学生の数を表し，$\bar{\mathrm{X}}$は$\mathrm{X}$の補集合を表す．

【５】　$f(x)=x^4-2a{x}^2+bx$のとき，曲線

$y=f(x)\cdots \text{①}$

において

(1)　曲線$\text{①}$上の点$\mathrm{P}(t,f(t))$における接線が曲線$\text{①}$と，点$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{Q}$を共有するものとする．点$\mathrm{Q}$の$x$座標が満足する$2$次方程式を求めよ．

(2)　曲線$\text{①}$と，異なる$2$点で接する直線が存在するための$a$の値の範囲と接点の$x$座標を求めよ．

(3)　(2)のとき，曲線$\text{①}$とその接線とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

【１】　$x\text{，}y\text{，}z$は実数で，次の$2$つの関係式

$x^2-yz-8x+7=0\cdots \text{①}$

$y^2+z^2+yz-6x+6=\cdots \text{②}$

を満たすとき

(1)　$y+z$を$x$で表し，$x$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$xy+yz+zx$の最小値を求めよ．

【２】　$n$を自然数とし，$\theta$は

$(\cos \theta +i\sin \theta )(\cos 2\theta +i\sin 2\theta )\cdot \cdots \cdot (\cos n\theta +i\sin n\theta )=1$

を満たすものとする．ただし$i$は虚数単位とする．

(1)　このような$\theta$は，$0<\theta \leqq 2\pi$の範囲内に何個存在するか．

(2)　(1)で存在する$\theta$の最小な値を${\theta }_n$とし

$z_n=(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)\cdot \cdots \cdot (\cos {\theta }_n+i\sin {\theta }_n)$

とおく．$z_n$を極形式で表せ．

(3)　$z_n$が純虚数となるときの$n$の値と，そのときの$z_n$を求めよ．

【３】　各項が正である数列$\{a_n\}$が，すべての自然数$n$について

$2a_{2n}=a_{2n-1}+a_{2n+1}\cdots \text{①}$

${a_{2n+1}}^2=a_{2n}{a}_{2n+2}\cdots \text{②}$

を満たすものとする．

(1)　$\sqrt{a_{2n}}$を$\sqrt{a_{2n-2}}$と$\sqrt{a_{2n+2}}$で表せ（$n\geqq 2$）．

(2)　$a_1=1\text{，}{a}_2=2$のとき$\sqrt{a_{2n}}$を求めよ．

(3)　(2)のとき，$S_n=a_1+a_3+a_5+\cdots +a_{2n-1}$を求めよ．

【４】　ある週の月曜日から土曜日にかけて$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$科目の補習授業を行うために，その時間割を作りたい．$3$科目ともこの期間に$4$時間ずつ行うが毎日の授業は$1$時限と$2$時限に分け，各時限とも$1$時間ずつとする．次の場合に時間割の作り方の個数を求めよ．

(1)　毎日$1$時限，$2$時限を同じ科目にする場合．

(2)　$1$時限と$2$時限の科目が同じ科目でも異なる科目でもよい場合．

(3)　毎日$1$時限と$2$時限を異なる科目とする場合．

【５】(1)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\sin x}{x}}$の区間$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における最小値を求めよ．

(2)　$a$を$0\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$なる定数とする．$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$なる$x$に対し，座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(x,0)\text{，}\mathrm{B}(x,\sin ax)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$を$1$辺とし，この平面に垂直な正$3$角形（$x=0$のときは点となる）をつねにこの平面に対し同じ側につくる．$x$が$0$から${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$まで変わるとき，これらの正$3$角形のつくる立体の体積$V(a)$を求めよ．

(3)　$a$が$0<a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$の範囲を動くとき，$V(a)$の最大値を求めよ．

【６】　関数

$y=e^{-x}+ax\cdots \text{①}$

がある．ただし$e$は自然対数の底である．

(1)　任意定数$a$を消去して，$y$の満足する微分方程式をつくれ．

(2)　$a>0$とする．関数$\text{①}$が極値をとるような$x$の値$X$とそのときの極値$Y$を$a$で表せ．次に$a$が変わるとき点$(X,Y)$の軌跡$C$の方程式を求めよ．

(3)　曲線$C\text{，}x$軸および$y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．