1974　東京大学　2次試験MathJax

【１】　自然数$n\text{，}p$に対し，$n^p$を十進法で書いたときの一の位の数を$f_p(n)$で表す．ただし，自然数とは，$1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$のことである．

(1)　$n$が自然数の全体を動くとき，$f_2(n)$のとる値を全部求めよ．

(2)　あらゆる自然数$n$に対して，$f_5(n)=f_1(n)$が成り立つことを証明せよ．

(3)　$n$が自然数の全体を動くとき，$f_{100}(n)$のとる値を全部求めよ．

【２】　長さ$l$の線分が，その両端を放物線$y=x^2$の上にのせて動く．この線分の中点$\mathrm{M}$が$x$軸にもっとも近い場合の$\mathrm{M}$の座標を求めよ．ただし$l\geqq 1$とする．

【３】　半径$a$の球から，鉛直で球の中心を通る軸をもつ円柱状の部分をくり抜き，残った環状部分の高さが$2h$になるようにする．この環状部分の体積を求めよ．ただし，$a>h$とする．

【４】　$\alpha >0$とし，$xy$平面上において，不等式

$y\leqq {\displaystyle \frac{-1}{{\alpha }^2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{2\alpha -1}{{\alpha }^2}}x-1+{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$

を満たす点$(x,y)$全体からなる集合を$A$とする．$A$と第$1$象限との共通部分を$B$とするとき，$B$の面積を$\alpha$の関数として表し，そのグラフを描け．

【３】　右の図は線分$\mathrm{AB}$の投影図で，その各部の寸法は図に記入してある通りである．この線分の上端$\mathrm{A}$を通り，$\mathrm{AB}$となす角が$60°\text{，}$平画面に対する傾きが$30°$であるような直線の，平画面上の跡を$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{B}$の平面図$\mathrm{b}$を原点とし，$\mathrm{b}\mathrm{a}$を$x$軸$\mathrm{b}{\mathrm{b}}^{\prime }$を$y$軸として，点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

【４】　$2$つの関数$f(x)\text{，}g(x)$が次の性質 1)，2)，3)，4)をもつものとする．

　このとき$a$の値を求めよ．

【５】　原点$\mathrm{O}$に中心をもつ半径$2$の固定された円板を$A$とする．半径$1$の円板$B$を，その中心$\mathrm{C}$が点$(3,0)$に重なるように置くとき，点$(4,0)$に重なる$B$の周上の点を$\mathrm{M}$とする．$B$を，$A$の周囲に沿って滑らないようにころがして，$\mathrm{OC}$が$x$軸の正の方向となす角が$\theta$になったときの，$\mathrm{M}$の位置の座標を$(X,Y)$とする．$\theta$が$0$から${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$まで動くとして，次の問に答えよ．

(1)　$X$と$Y$とを$\theta$の関数として表せ．

(2)　$Y$の最大値を求めよ．

(3)　$\mathrm{M}$の描く曲線の弧の長さを求めよ．

【６】　あるスポーツにおいて，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}2$チームが試合をして，先に$3$回勝った方を優勝とする．$1$回の試合で$\mathrm{A}$が勝つ確率を$p\text{，}\mathrm{B}$が勝つ確率を$q\text{（}p+q=1\text{，}p>0\text{，}q>0\text{）}$とする．このとき，$\mathrm{A}$が優勝する確率を$P\text{，}\mathrm{B}$が優勝する確率を$Q$とし，また，優勝チームが決まるまでの試合数を$N$として，次の問に答えよ．

(1)　$p>q$のとき，$P-Q$と$p-q$とはどちらが大きいか．

(2)　$P-p$を最大にする$p$の値を求めよ．

(3)　$N$の期待値を最大にする$p$の値およびそのときの$N$の期待値を求めよ．