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1975 北海道大学

文科系・理科系共通

易□ 並□ 難□

【1】  X Y についての整式 X2 +2 kX Y+Y2 X= x+b y Y=a x+y を代入してできる x y の整式の x 2 xy y2 の係数をそれぞれ A B C とする.

(1)  A B C a b k で表せ.

(2)  A=C= 0 ab のとき, B の値を求めよ.

(3)  A=B= 0 ab 1 のとき, k の値を求めよ.

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文科系・理科系共通

易□ 並□ 難□

【2】 空間内に 4 A( 1,1, 1) B(3 ,4,2 )C (2, 3,2) D( 2,2, 4) がある.

(1) ベクトル AB AC に垂直な単位ベクトル e の成分を求めよ.

(2)  3 角形 ABC を含む平面上に任意の点 P (x, y,z) をとるとき, x y z の間にどんな関係式が成立するか.

(3) 点 D より(2)の平面に下ろした垂線の長さを求めよ.

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文科系・理科系共通

易□ 並□ 難□

【3】 初項 α 公差 β の等差数列 {α n} に対し,数列 {sin αn } は等比数列をなすものとする.ただし, α β は実数で sin α0 である.

(1)  β を求めよ.

(2) 公比を求めよ.

(3) 複素数 ( cos αn+ isin αn )n の偏角を α で表せ.

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文科系

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【4】  a b は相異なる正数とする. 2 つのだ円

x 2a2 + y 2b2 =1

x 2b2 + y 2a2 =1

について

(1)  の第 1 象限における交点 P を求めよ.

(2)  O を原点, A を点 (a, 0) とするとき,線分 OA を直径とする円が点 P を通るための条件を求めよ.

(3) (2)のとき,第 1 象限において円弧 AP とだ円 の弧 AP とで囲まれる部分を, x 軸のまわりに回転してできる回転体の体積 V a で表せ.

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文科系

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【5】 曲線 y= x3 について

(1) この曲線上の相異なる 3 A (a ,a3 ) B( b,b 3) C( c,c 3) が同一直線上にあるための a b c の条件を求めよ.

(2) 点 P( α,β) よりこの曲線に相異なる 3 本の接線が引けるとき, α β の条件を求め,点 P (α, β) の存在範囲を図示せよ.

(3) (2)のとき, 3 つの接点を頂点とする三角形の重心の座標を α β を用いて表せ.

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理科系

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【4】 次の数列の極限値を求めよ.ただし, [x] x をこえない最大の整数を示すものとする.

(1)  limn [ n3 ]n

(2)  limn ( n2 +[ n3] -n)

(3)  limn sin( 2π n2 +[ n3 ] )

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理科系

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【5】(1)  y=log 2+x 2-x のとき dxd y x の式で表せ.ただし,対数は自然対数とする.

(2)  In= -π2 π2 xnsin xd x のとき, In+ 2 In で表せ.ただし, n は正の奇数とする.

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理科系

易□ 並□ 難□

【6】  t>0 e が自然対数の底のとき,曲線 y= 2t ex- e2 x Ct とする.

(1) 曲線 Ce の変曲点を求め,その概形をかけ.

(2) 曲線 Ct 上の y 座標が最大となる点 Pt が, t の値が変わるときに描く曲線 K の方程式を求めよ.

(3)  0<a< b のとき,曲線 Ca Cb x 軸および曲線 K の弧 P aPb で囲まれる部分の面積を求めよ.

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