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1975-10001-0101
1975 北海道大学
文科系・理科系共通
易□ 並□ 難□
【1】 X ,Y についての整式 X2 +2⁢ k⁢X⁢ Y+Y2 に X= x+b⁢ y, Y=a ⁢x+y を代入してできる x ,y の整式の x 2, x⁢y , y2 の係数をそれぞれ A ,B , C とする.
(1) A ,B ,C を a ,b ,k で表せ.
(2) A=C= 0, a≠b のとき, B の値を求めよ.
(3) A=B= 0, a⁢b≠ 1 のとき, k の値を求めよ.
1975-10001-0102
【2】 空間内に 4 点 A( 1,1, 1), B(3 ,4,2 ),C (2, 3,2) ,D( 2,2, 4) がある.
(1) ベクトル AB → ,AC → に垂直な単位ベクトル e→ の成分を求めよ.
(2) 3 角形 ABC を含む平面上に任意の点 P (x, y,z) をとるとき, x ,y , z の間にどんな関係式が成立するか.
(3) 点 D より(2)の平面に下ろした垂線の長さを求めよ.
1975-10001-0103
【3】 初項 α , 公差 β の等差数列 {α n} に対し,数列 {sin⁡ αn } は等比数列をなすものとする.ただし, α ,β は実数で sin⁡ α≠0 である.
(1) β を求めよ.
(2) 公比を求めよ.
(3) 複素数 ( cos⁡ αn+ i⁢sin⁡ αn )n の偏角を α で表せ.
1975-10001-0104
文科系
【4】 a ,b は相異なる正数とする. 2 つのだ円
x 2a2 + y 2b2 =1 ⋯①
x 2b2 + y 2a2 =1 ⋯②
について
(1) ① と ② の第 1 象限における交点 P を求めよ.
(2) O を原点, A を点 (a, 0) とするとき,線分 OA を直径とする円が点 P を通るための条件を求めよ.
(3) (2)のとき,第 1 象限において円弧 AP とだ円 ① の弧 AP とで囲まれる部分を, x 軸のまわりに回転してできる回転体の体積 V を a で表せ.
1975-10001-0105
【5】 曲線 y= x3 について
(1) この曲線上の相異なる 3 点 A (a ,a3 ), B( b,b 3) , C( c,c 3) が同一直線上にあるための a ,b , c の条件を求めよ.
(2) 点 P( α,β) よりこの曲線に相異なる 3 本の接線が引けるとき, α ,β の条件を求め,点 P (α, β) の存在範囲を図示せよ.
(3) (2)のとき, 3 つの接点を頂点とする三角形の重心の座標を α ,β を用いて表せ.
1975-10001-0106
理科系
【4】 次の数列の極限値を求めよ.ただし, [x] は x をこえない最大の整数を示すものとする.
(1) limn→ ∞⁡ [ n3 ]n
(2) limn→ ∞⁡ ( n2 +[ n3] -n)
(3) limn→ ∞⁡ sin⁡( 2⁢π⁢ n2 +[ n3 ] )
1975-10001-0107
【5】(1) y=log⁡ 2+x 2-x のとき dxd y を x の式で表せ.ただし,対数は自然対数とする.
(2) In= ∫ -π2 π2 ⁡ xn⁢sin ⁡x⁢d x のとき, In+ 2 を In で表せ.ただし, n は正の奇数とする.
1975-10001-0108
【6】 t>0 ,e が自然対数の底のとき,曲線 y= 2⁢t⁢ ex- e2⁢ x を Ct とする.
(1) 曲線 Ce の変曲点を求め,その概形をかけ.
(2) 曲線 Ct 上の y 座標が最大となる点 Pt が, t の値が変わるときに描く曲線 K の方程式を求めよ.
(3) 0<a< b のとき,曲線 Ca , Cb ,x 軸および曲線 K の弧 P aPb で囲まれる部分の面積を求めよ.