1975　室蘭工業大学MathJax

【１】　次の$\boxed{}$を埋めよ．

(1)　関数$f(x)=|x-1|+|x-2|$の最小値は$\boxed{}$である．

【１】　次の$\boxed{}$を埋めよ．

(2)　${\log }_{10}(\sqrt{a}+2\sqrt{b})-{\log }_{10}(\sqrt{a}-\sqrt{b})=1$のとき，${\displaystyle \frac{a}{b}}=\boxed{}$である．

【１】　次の$\boxed{}$を埋めよ．

(3)　$z$を複素数とする．$|z|=1$のとき$|z-i|$の最大値は$\boxed{}$である．

【１】　次の$\boxed{}$を埋めよ．

(4)　${\displaystyle {\int }_0^4}{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}}dx=\boxed{}$である．

【１】　次の$\boxed{}$を埋めよ．

(5)　${}_{n-1}C_r:{}_{n}C_r:{}_{n+1}C_r=1:5:20$ならば，$n=\boxed{}\text{，}r=\boxed{}$である．

【２】(1)　$2$次関数$f(x)=a{x}^2+bx+c$のグラフ上の相異なる任意の$2$点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$の$x$座標をそれぞれ$p\text{，}q\text{，}r$とするとき，$mf(q)+nf(p)$と$(m+n)f(r)$の大小を比べよ．ただし，$m\text{，}n$は正の数である．

(2)　$f(x)=x^2-x$のグラフ上の点を$\mathrm{Q}\text{，}$原点を$\mathrm{O}$とするとき，線分$\mathrm{OQ}$を$2:1$に内分する点はどんな曲線上にあるか．

【３】　実数の数列$\{a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$に対して

$p_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k\text{，}{q}_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{(a_k)}^2$

とおくとき，すべての正の整数$n$について，関数

$f(x)=x^3+3p_n{x}^2+3q_{n}x+1$

は極値をもたないことを証明せよ．

【４】　$3$角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle B={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}\mathrm{AB}=a$（一定）とし，$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AB}=\mathrm{AD}$となるように点$\mathrm{D}$をとる．$\mathrm{B}$から$\mathrm{AC}$へ，$\mathrm{D}$から$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とし，$\angle A=x$（ラジアン）とおく．$x$を限りなく$0$に近づけるとき，次の量はどんな値に近づくか．

(1)　${\displaystyle \frac{\mathrm{BC}-\mathrm{BP}}{x^3}}$

(2)　${\displaystyle \frac{\mathrm{DQ}}{{\mathrm{BQ}}^2}}$

【５】　関数$f(x)$はすべての$x$に対して$f^{″}(x)+f(x)=0$を満足している．

$g(x)={\{f(x)\}}^2+{\{f^{\prime }(x)\}}^2$

とおき，$g(0)=1$とする．$g(1)$の値を求めよ．