1975　東京大学　1次試験MathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$\mathrm{O}x\text{，}\mathrm{O}y$を直交座標軸とする平面上に長さ$2$の線分$\mathrm{AB}$があり，その中点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{B}$は第$1$象限にあり，$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{A}$はそれぞれ$x$軸，$y$軸の上にある．

　このとき，$\overline{\mathrm{OB}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$ならば$\mathrm{B}$の座標は$(\sqrt{\boxed{}},{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{\boxed{}})$であり，$\mathrm{OB}$と$x$軸のなす角が$30°$ならば$\mathrm{B}$の座標は$(2\sqrt{\boxed{}},{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{\boxed{}}}})$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$1$から$1000$までの整数のうちで，

(1)　$9$と$15$のどちらの倍数でもあって$13$の倍数でないものは$\boxed{}$個，

(2)　$11$と$13$のどちらの倍数でもあって$7$の倍数でないものは$\boxed{}$個，

(3)　$13$の倍数であって$7\text{，}11$のどちらの倍数でもないものは$\boxed{}$個，

(4)　$7\text{，}11\text{，}13$のどの倍数でもないものは$\boxed{}$個ある．

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$\angle \mathrm{A}=90°$の直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$と，$\angle \mathrm{D}=90°\text{，}\angle \mathrm{E}=30°$の直角三角形$\mathrm{DEF}$があって，$\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{DE}}$である．この$2$つの三角形を$1$つの平面上に置いて，$\mathrm{B}$と$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{C}$と$\mathrm{E}$がそれぞれ重なり，$\mathrm{A}$と$\mathrm{F}$とが辺$\mathrm{BC}$に関して互いに反対側にあるようにする．

　このとき辺$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{AF}$とのなす角を$\alpha \text{，}$辺$\mathrm{BC}$と線分$\mathrm{AF}$とのなす角を$\beta$とすると

$\sin \alpha =\sqrt{\boxed{}+\boxed{}\sqrt{3}}\text{，}\sin \beta =\sqrt{\boxed{}+\boxed{}\sqrt{3}}$

である．

【４】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

$f(x)=x^3-x^2-2x\text{，}g(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle {\int }_{x-1}^{x+1}}f(t)dt$

とすれば，関数$g(x)$は$x=\boxed{}$において極大値$\boxed{}$をとり，$x=\boxed{}$において極小値$\boxed{}$をとる．

【１】　　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．ただし$\boxed{\text{(b)}}$の数は$\boxed{\text{(c)}}$の数より小さいとする．

　$k$が実数のとき，$x$に関する$2$次方程式

$7x^2-(k+13)x+k^2-k-2=0$

が$2$つの実根をもち，それらが開区間$(0,1)$および開区間$(1,2)$にそれぞれ$1$つずつあるための必要十分条件は$\text{「}\boxed{\text{(a)}}<k<\boxed{\text{(b)}}$または$\boxed{\text{(c)}}<k<\boxed{\text{(d)}}\text{」}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$n$を正の整数，${\alpha }_n=\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$とする．$p\text{，}q$が整数を表すとき，$p+q{\alpha }_n$の形の複素数で表される点のうちで，原点を中心とする半径$1$の円周上にあるものの個数を$A_n$とすれば，$A_3=\boxed{}\text{，}{A}_4=\boxed{}\text{，}{A}_5=\boxed{}$である．また，$n=3$のとき，それら$A_3$個の点を頂点とする凸多角形の面積は$\sqrt{\boxed{}}$である．

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が時刻$t=0$に平面上の座標原点を出発し，互いに直交する方向に等速直線運動をしている．点$\mathrm{P}$の速度ベクトルの$x$成分は$-4\text{，}y$成分は$8$であり，点$\mathrm{Q}$の速度ベクトルの$y$成分は$3$である．さらに，時刻$t=2$に点$\mathrm{R}$が同じく原点を出発して等速直線運動を始め，$t=3$のときに線分$\mathrm{PQ}$の中点に達した．

　このとき，点$\mathrm{R}$の速度ベクトルの$x$成分は$\boxed{}\text{，}y$成分は$\boxed{}$である．これらの$3$点がさらに運動をつづけると，$t=\boxed{}$のときに$\angle \mathrm{PRQ}$は直角になり，この時刻の$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の距離は$\boxed{}\sqrt{5}$となる．

【４】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$a$を実数とする．$x$に関する$2$次方程式

$(1+a)x^2+2x+1-a=0$

において

(1)　$a$がどのような値であっても，実数$x=\boxed{}$は決して根とならない．

(2)　$2$根がともに整数となるような$a$の最大値は$\boxed{}\text{，}$最小値は$\boxed{}$である．

(3)　$2$根がともに整数となるような$a$の値で$|a+1|\geqq {\displaystyle \frac{1}{N}}$を満たすものの個数を$f(N)$とするとき

$\underset{N\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{N}}f(N)=\boxed{}$

である．