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1975 東京大学 2次試験

文科・理科共通

易□ 並□ 難□

【1】 三角形 ABC において, BC=32 CA=36 AB =25 とする.この三角形の 2 辺の上に両端をもつ線分 PQ によって,この三角形の面積を 2 等分する.そのような PQ の長さが最短になる場合の, P Q の位置を求めよ.

1975 東京大学 2次試験

文科・理科共通

易□ 並□ 難□

【2】  k l m n は負でない整数とする. 0 でないすべての x に対して等式 (x+ 1)k xl -1= (x+1 )mx n を成り立たせるような k l m n の組を求めよ.

1975 東京大学 2次試験

文科

易□ 並□ 難□

【3】  2 つの放物線 y= x2 y= -(x -a)2 +b とによって囲まれる図形の面積が 13 となるための必要十分条件を a b を用いて表せ.

1975 東京大学 2次試験

文科新課程

易□ 並□ 難□

【4】  xy 平面内の曲線 x= f(y ) f (y) は正の値をとる関数とする)と直線 y= 2 および x 軸, y 軸で囲まれる図形を y 軸のまわりに回転してできる立体から, y 座標が 2 y 軸上の点を中心とする半径 1 の球との共通部分をくりぬいた残りの立体を A とする.立体 A y t にあたる部分の体積 V (t)

V(t )={ 23 π( t2+ t) 0 t1 π ( 13 t3- 32 t2+ 4t- 32 ) 1 <t2

であるとき,関数 f (y) 0 y2 を定めて, A xy 平面による断面の図形をえがけ.

1975 東京大学 2次試験

文科旧課程

易□ 並□ 難□

【3】 直線 x+ y=4 に第 1 象限において接する放物線 y= -ax 2+b x がある.この放物線と x 軸の正の部分とで囲まれる図形の面積が最大となるときの a b の値とその場合の面積を求めよ.

1975 東京大学 2次試験

理科

易□ 並□ 難□

【4】 数列 {a n} の項が

a1= 2 an +1= 2+a n n =1 2 3

によって与えられているものとする.このとき

an= 2sin θn 0< θn< π2

を満たす θ n を見いだせ.また lim n θ n を求めよ.

1975 東京大学 2次試験

理科

易□ 並□ 難□
1975年東大理科【5】の図

【5】 図のように球 S に内接する球の列 Sn n=1 2 3 がある. S の中心 O Sn の中心 On はすべて同一平面上にあり, On+ 1 Sn の表面上にあって,この平面上において O n+2 On は直線 O On+1 に関して互いに反対側にある.また S の半径は a Sn の半径は a2n である.このとき,

(ⅰ)  Sn S n+1 の共通部分の体積 vn を求めよ.

(ⅱ)  m=1 2 3 に対して, Vm= n=1 m vn とおくとき,

V=lim m V m

を求めよ.

1975 東京大学 2次試験

理科

易□ 並□ 難□

【6】 赤球が 1 個と白球が 3 個入った容器 A と,ほかに赤球と白球の入った容器 B C がある.いま A B C から無作為に1個ずつ合計 3 個の球を取り出し,これらからやはり無作為に 1 個をとって A にかえすという操作をくり返す.ただし容器 B から赤球が取り出される確率と白球が取り出される確率はともに 12 に保たれており,容器 C からはつねに赤球が取り出されるものとする.

(ⅰ) 上記の操作を n 回くり返したとき,容器 A x 個の赤球が入っている確率を

Pn (x) n=1 2 3

で表せば,関係式

Pn+ 1( x)= 112 (6+ x)P n(x )+ 124 (1+ x)P n(x +1)+ 18 (5-x) Pn (x-1)

が成り立つことを証明せよ.ただし x -1 または x 5 のときは Pn (x )=0 と定める.

(ⅱ)  n 回目の操作を終えたとき A の中にある赤球の数の期待値 En を求めよ.

(ⅲ)  limn En を求めよ.

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