【6】 赤球が個と白球が個入った容器と,ほかに赤球と白球の入った容器とがある.いまから無作為に1個ずつ合計個の球を取り出し,これらからやはり無作為に個をとってにかえすという操作をくり返す.ただし容器から赤球が取り出される確率と白球が取り出される確率はともにに保たれており,容器からはつねに赤球が取り出されるものとする.
(ⅰ) 上記の操作を回くり返したとき,容器に個の赤球が入っている確率を
で表せば,関係式
が成り立つことを証明せよ.ただしまたはのときはと定める.
(ⅱ) 回目の操作を終えたときの中にある赤球の数の期待値を求めよ.
(ⅲ) を求めよ.