1977　室蘭工業大学MathJax

【１】　次の$\boxed{}$を埋めよ．

(1)　${\displaystyle \frac{4x+13}{x^2-x-6}}={\displaystyle \frac{a}{x+2}}+{\displaystyle \frac{b}{x-3}}$を満たす定数$a\text{，}b$は$a=\boxed{}\text{，}b=\boxed{}$である．

【１】　次の$\boxed{}$を埋めよ．

(2)　方程式$x^4-2x^3-x+2=0$の解は$\boxed{}\text{，}\boxed{}\text{，}\boxed{}\text{，}\boxed{}$である．

【１】　次の$\boxed{}$を埋めよ．

(3)　循環小数$0.\stackrel{\cdot }{1}2\stackrel{\cdot }{3}$を分数で表すと$\boxed{}$である．

【１】　次の$\boxed{}$を埋めよ．

(4)　${\displaystyle {\int }_0^1}x{e}^{x}dx={\displaystyle {\int }_a^1}{e}^{x}dx$を満たす$a$の値は$\boxed{}$である．

【２】　$f(x)=a_0{x}^4+a_1{x}^3+a_2{x}^2+a_{3}x+a_4$において，$a_i\text{（}i=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}4\text{）}$は整数とし，$a_0\ne 0$である．

(1)　方程式$f(x)=0$が解${\displaystyle \frac{l}{m}}$をもつとき，$l$は$a_4$の約数であり，$m$は$a_0$の約数であることを示せ．ただし，$l\text{，}m$は整数でその最大公約数は$1$とする．

(2)　$a_0=1$のとき$f(x)=0$が有理数を解とするとき，その解は整数であることを示せ．

【３】　$4$面体の頂点の位置ベクトルを$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{d}$とする．

(1)　$1$つの頂点とその対面の重心を結ぶ線分を$3:1$に内分する点$\mathrm{G}$の位置ベクトルを求めよ．

(2)　点$\mathrm{G}$は対辺（$4$面体の同一平面上にない$2$辺）の中点を結ぶ線分の中点であることを示せ．

【４】　$n$は正の整数とする．

$f(x)=x^{n-1}{e}^{-x}\text{，}g(x)=x\cdot f(x)$

とするとき，

(1)　導関数$g^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　不等式$f(x)\leqq {\displaystyle \frac{k}{x}}$が$x>0$においてつねに成り立つような最小の定数$k$を求めよ．

(3)　(2)の不等式を利用して，極限値$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

【５】　$x>0$で$y=f(x)$によって表される曲線が点$(1,3)$を通る．曲線上の任意の点$\mathrm{P}$において引いた接線と$y$軸との交点を$\mathrm{M}$とするとき，線分$\mathrm{PM}$の長さがつねに$x$軸で$2$等分される．$f(x)$を求めよ．