1977　東京大学　1次試験MathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$m$を実数の定数とし，$xy$平面上の$2$直線

$l_1:mx-y=0\text{，}{l}_2:x+my-m-2=0$

を考える．どのような$m$に対しても，直線$l_1$と直線$l_2$との交点$\mathrm{P}$は一定の円

$C:{(x-\boxed{})}^2+{(y-\boxed{})}^2=\boxed{}$

の上にある．そこで，直線$l_1$と円$C$との交点を$\mathrm{P}\text{，}{\mathrm{Q}}_1$とし，直線$l_2$と円$C$との交点を$\mathrm{P}\text{，}{\mathrm{Q}}_2$とする．$m$が実数全体を動くとき，$▵\mathrm{P}{\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2$の面積がとる最大値は$\boxed{}$である．

【２】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$xy$平面における原点のまわりのある回転により，直線$l:3x+y+1=0$は次の$3$直線$l_1\text{，}{l}_2\text{，}{l}_3$のうちのどれかに重なる．

$l_1:3x+1=0\text{，}{l}_2:6x-3y+2=0\text{，}{l}_3:13x-9y+5=0$

　この性質をもつ回転は，任意の点$(x,y)$を，関係

$x^{\prime }=\boxed{}x+\boxed{}y\text{，}{y}^{\prime }=\boxed{}x+\boxed{}y$

によって定まる点$(x^{\prime },y^{\prime })$にうつす．

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$1$辺の長さが$1$の正$4$面体を$A$とする．また$A$の各面の外心を頂点とする$4$面体を$B$とする．このとき，$B$の全表面積は${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\boxed{}}}}$で，$A$の全面積の${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\boxed{}}}}$倍である．また$B$の体積は${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\boxed{}}}}$で，$A$の体積の${\displaystyle \frac{1}{\boxed{}}}$倍である．

【４】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$a\text{，}b$を実数の定数とし，$x$の$3$次関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx$が，$x=\alpha$で極大値をとり，$x=\beta >0$で極小値$0$をとるとする．このとき，次のことが成り立つ．

(1)　$\beta =\boxed{}\alpha$

(2)　$f(\alpha )=f(\gamma )\text{，}\alpha \ne \gamma$ならば$\gamma =\boxed{}\alpha$

(3)　$f(\alpha )=4$ならば$a=\boxed{}\text{，}b=\boxed{}$

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$xy$平面上の曲線$C:y=x^2$の上に$2$個の動点$\mathrm{A}(a,a^2)\text{，}\mathrm{B}(b,b^2)$があり，点$\mathrm{A}$において直線$\mathrm{AB}$が曲線$C$の接線と直交するものとする．このとき，点$\mathrm{B}$において直線$\mathrm{AB}$が曲線$C$の接線となす鋭角を$\theta$とすれば，次のことが成り立つ．

(1)　$a=1$ならば，$b=\boxed{}\text{，}\tan \theta =\boxed{}$

(2)　$b=\pm \sqrt{\boxed{}}$のとき$|b|$は最小になり，そのとき$\tan \theta =\sqrt{\boxed{}}$

【２】　$2$組の数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$が次の関係を満足している．

$a_n=5a_{n-1}-6b_{n-1}\text{，}{b}_n=3a_{n-1}-4b_{n-1}$

ベクトル$(a_n,b_n)$を考えるとき，次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

(1)　$(a_1,b_1)=(\boxed{},1)$のとき$(a_2,b_2)=2(a_1,b_1)$

(2)　$(a_1,b_1)=(1,1)$のとき$(a_n,b_n)={(\boxed{})}^{n-1}(a_1,b_1)$

(3)　$(a_1,b_1)=(1,0)$のとき$(a_{10},b_{10})=(\boxed{},\boxed{})$

【３】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　図のような立体図形を考える．$3$辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{DC}\text{，}\mathrm{EF}$は互いに平行であり，底面$\mathrm{ABCD}$は長方形である．また$\mathrm{AB}=9\text{，}\mathrm{BC}=8\text{，}\mathrm{EF}=3\text{，}\mathrm{EA}=\mathrm{ED}=\mathrm{FB}=\mathrm{FC}=13$とする．このとき，この立体の体積は$\boxed{}$であり，$4$角形$\mathrm{ABFE}$の対角線$\mathrm{AF}$の長さは$\boxed{}$であり，この$4$角形の面積は$\sqrt{\boxed{}}$である．また$\angle \mathrm{AFC}=\alpha$とすると，$\cos \alpha =\boxed{}$である．

【４】　次の$\boxed{}$にあてはまる数は何か．

　$xy$平面上に動点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$がある．時刻$t$における点$\mathrm{P}$の座標は$({\displaystyle \frac{4}{3}}-2t^2,t-t^2)$である．点$\mathrm{Q}$は，時刻$0$に点$\mathrm{P}$と同じ位置から出発して，ベクトル$(-1,m)$の方向に直進し，時刻$t$におけるその速さは$5t$である．さらに，点$\mathrm{Q}$は時刻$a>0$のとき点$\mathrm{P}$とふたたび出会うものとする．このようなことが起こる$m\text{，}a$は$2$通りある．それらを$m_1\text{，}{a}_1$および$m_2\text{，}{a}_2$で表すとき，$m_1<m_2$ならば$m_1=\boxed{}\text{，}{a}_1=\boxed{}\text{；}{m}_2=\boxed{}\text{，}{a}_2=\boxed{}$である．