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1977 東京大学 1次試験
文科
【1】 次の にあてはまる数は何か.
m を実数の定数とし, xy 平面上の 2 直線
l1: m⁢x- y=0 ,l2 :x+m ⁢y-m -2=0
を考える.どのような m に対しても,直線 l1 と直線 l2 との交点 P は一定の円
C:( x- ) 2+ (y- )2 =
の上にある.そこで,直線 l1 と円 C との交点を P ,Q1 とし,直線 l2 と円 C との交点を P ,Q2 とする. m が実数全体を動くとき, ▵P Q1Q 2 の面積がとる最大値は である.
【2】 次の にあてはまる数は何か.
xy 平面における原点のまわりのある回転により,直線 l:3 ⁢x+y +1=0 は次の 3 直線 l 1 ,l 2, l3 のうちのどれかに重なる.
l1: 3⁢x+ 1=0 ,l2 :6⁢x -3⁢y +2=0 , l3:13 ⁢x-9 ⁢y+5 =0
この性質をもつ回転は,任意の点 (x ,y) を,関係
x′= ⁢x + ⁢y ,y ′= ⁢ x+ ⁢ y
によって定まる点 ( x′, y′ ) にうつす.
【3】 次の にあてはまる数は何か.
1 辺の長さが 1 の正 4 面体を A とする.また A の各面の外心を頂点とする 4 面体を B とする.このとき, B の全表面積は 1 で, A の全面積の 1 倍である.また B の体積は 1 で, A の体積の 1 倍である.
【4】 次の にあてはまる数は何か.
a ,b を実数の定数とし, x の 3 次関数 f⁡ (x) =x3 +a⁢x 2+b⁢ x が, x=α で極大値をとり, x=β >0 で極小値 0 をとるとする.このとき,次のことが成り立つ.
(1) β= ⁢ α
(2) f⁡(α )=f⁡ (γ) ,α≠ γ ならば γ= ⁢α
(3) f⁡(α )=4 ならば a= ,b =
理科
xy 平面上の曲線 C: y=x2 の上に 2 個の動点 A ( a,a2 ) ,B (b ,b2 ) があり,点 A において直線 AB が曲線 C の接線と直交するものとする.このとき,点 B において直線 AB が曲線 C の接線となす鋭角を θ とすれば,次のことが成り立つ.
(1) a=1 ならば, b= ,tan⁡θ =
(2) b=± のとき | b| は最小になり,そのとき tan⁡ θ=
【2】 2 組の数列 {a n} ,{b n} が次の関係を満足している.
an= 5⁢a n-1 -6⁢b n-1 ,b n=3⁢ an-1 -4⁢ bn- 1
ベクトル (a n,b n) を考えるとき,次の にあてはまる数は何か.
(1) (a1 ,b1 )=( ,1) のとき (a 2,b 2)= 2⁢(a 1,b 1)
(2) (a1 ,b1 )=(1, 1) のとき (a n,b n)= ( ) n-1 ⁢( a1, b1)
(3) (a1 ,b1 )=(1 ,0) のとき (a 10,b 10)= ( , )
図のような立体図形を考える. 3 辺 AB ,DC , EF は互いに平行であり,底面 ABCD は長方形である.また AB= 9, BC=8 , EF=3 ,EA= ED=FB= FC=13 とする.このとき,この立体の体積は であり, 4 角形 ABFE の対角線 AF の長さは であり,この 4 角形の面積は である.また ∠ AFC=α とすると, cos⁡α = である.
xy 平面上に動点 P ,Q がある.時刻 t における点 P の座標は ( 43 -2⁢ t2, t-t2 ) である.点 Q は,時刻 0 に点 P と同じ位置から出発して,ベクトル (- 1,m) の方向に直進し,時刻 t におけるその速さは 5⁢ t である.さらに,点 Q は時刻 a> 0 のとき点 P とふたたび出会うものとする.このようなことが起こる m ,a は 2 通りある.それらを m 1, a1 および m 2, a2 で表すとき, m1 <m2 ならば m 1= ,a 1= ; m2 = , a2= である.