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1978 北海道大学

文科系・理科系共通

易□ 並□ 難□

【1】 実数 α α 1 に対して

Cα: {(x,y )| x2- 2α x+y2 +2( α-2) y+2 =0}

Dα= {(x,y )| x2- 2α x+y2 +2(α -2)y+ 2>0}

とおく.

(1)  α が動くとき,円 Cα の中心の描く図形を図示せよ.

(2) すべての円 Cα に接する直線の方程式を求めよ.

(3)  α<1 であるすべての Dα に属する点全体の集合を図示せよ.

1978 北海道大学

文科系

易□ 並□ 難□

【2】 実数 x y についての条件 A を次のように定める.

A:x 0かつ x2 -29 y2 0

(1) 条件 A および 5 y-x+ 20 を同時に満たす (x, y) の存在するような y の範囲を求めよ.

(2) 条件 A および 5 y-x+ 2=0 を同時に満たす整数の組 (x, y) をすべて求めよ.

1978 北海道大学

文科系

易□ 並□ 難□

【3】  0θ< 2π で定義された関数

f(θ )=a sin2 θ+b cos2 θ+2a sinθ

について,次の問に答えよ.ただし, a b は実数で a 0 とする.

(1)  f(θ )=0 を満たす θ の値は 2 個あることを示せ.

(2)  f(θ ) θ= π 6 で最大値 7 をとるような a b の値を求めよ.

1978 北海道大学

文科系

易□ 並□ 難□

【4】  3 角形 ABC において, AQ = 12 AC AR = 13 AB となる点 Q R をそれぞれ辺 AC AB 上にとる.線分 BQ CR の交点を I とし,線分 AI の延長が辺 BC と交わる点を P とする.

(1)  BQ CR AB AC を用いて表せ.

(2)  AI =AB +λ BQ =AC +μ CR となる λ μ を求めよ.

(3)  BP = 23 BC であることを示し, 3 角形 PQR 3 角形 ABC の面積の比を求めよ.

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文科系

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【5】 次の(a),(b)を満たす言語を考える.

(a) 相異なる 7 個の文字が用いられ,その内訳は母音字が 3 個,子音字が 4 個である.

(b) 次の 4 条件が満たされるように文字が 1 列に並んだものを単語という.

 ただし, 1 個の文字からなる場合も含む.

(イ)  8 個以下の文字からなる.

(ロ) 必ず母音字で終わる.

(ハ) 母音字が続いて並ぶことはない.

(ニ) 子音字が続いて並ぶことはない.

 この言語について次の問に答えよ.

(1)  4 文字からなる単語は何個あるか.

(2) 相異なる 5 文字からなる単語は何個あるか.

(3) この言語における単語の総数を求めよ.

1978 北海道大学

理科系

易□ 並□ 難□

【2】 空間内に 4 A( 2,-2, 1) B( 1,4,- 1) C( 1,1,3 ) D(- 1,5,3 ) を考え, A B を通る直線を l 1 C D を通る直線を l2 とする.

(1) 直線 l1 を含み,直線 l2 に平行な平面 π の方程式を求めよ.

(2) 点 C から平面 π へ下ろした垂線の足を H とする.点 H の座標と線分 CH の長さを求めよ.

(3) 線分 CH の長さが直線 l1 上の動点 P と直線 l2 上の動点 Q との距離の最小値に等しいことを証明せよ.

1978 北海道大学

理科系

易□ 並□ 難□

【3】(1) 不等式 2 ( log0.5 x) 2+9 log0.5 x+ 90 を満たす x の範囲を求めよ.

(2)  x が(1)で求めた範囲を動くとき

f(x )=( log2 x 3) (log 2 x4 )

の最大値 M と最小値 L を求めよ.

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理科系

易□ 並□ 難□

【4】  2 個のさいころを同時に投げる試行を T とする.試行 T 1 回行ったとき,出た目の数の差を X とする.

(1)  X の期待値(平均値) E (X) と分散 V (X) を求めよ.

(2) 独立に 7 回試行 T をくり返して, X が奇数となるのが 3 回以上である確率を求めよ.

1978 北海道大学

理科系

易□ 並□ 難□

【5】  f(x )= ax 2+b x+a+1 x2 +1 x= -3 で極小値 0 をとるものとする.

(1)  a b を求めよ.

(2)  f(x ) が極大となる x の値 c を求めよ.曲線 f (x) x 軸, y 軸および直線 x= c で囲まれた部分の面積 S を求めよ.

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理科系

易□ 並□ 難□

【6】(1)  an= 0π2 sin 2t (1 -sint )n- 12 dt の値を求めよ.ただし, n は自然数とする.

(2) (1)で求めた an について級数 n= 1 (n+ 1)( an- an+ 1) の和を求めよ.

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