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1978-10001-0101
1978 北海道大学
文科系・理科系共通
易□ 並□ 難□
【1】 実数 α (α ≠1 ) に対して
Cα: {(x,y )| x2- 2⁢α⁢ x+y2 +2⁢( α-2) ⁢y+2 =0}
Dα= {(x,y )| x2- 2⁢α⁢ x+y2 +2(α -2)y+ 2>0}
とおく.
(1) α が動くとき,円 Cα の中心の描く図形を図示せよ.
(2) すべての円 Cα に接する直線の方程式を求めよ.
(3) α<1 であるすべての Dα に属する点全体の集合を図示せよ.
1978-10001-0102
文科系
【2】 実数 x ,y についての条件 A を次のように定める.
A:x≧ 0かつ x2 -29⁢ y2≧ 0
(1) 条件 A および 5⁢ y-x+ 2≧0 を同時に満たす (x, y) の存在するような y の範囲を求めよ.
(2) 条件 A および 5⁢ y-x+ 2=0 を同時に満たす整数の組 (x, y) をすべて求めよ.
1978-10001-0103
【3】 0≦θ< 2⁢π で定義された関数
f⁡(θ )=a⁢ sin2⁡ θ+b⁢ cos2⁡ θ+2⁢a ⁢sin⁡θ
について,次の問に答えよ.ただし, a ,b は実数で a≠ 0 とする.
(1) f⁡(θ )=0 を満たす θ の値は 2 個あることを示せ.
(2) f⁡(θ ) が θ= π 6 で最大値 7 をとるような a ,b の値を求めよ.
1978-10001-0104
【4】 3 角形 ABC において, AQ→ = 12⁢ AC→ , AR→ = 13⁢ AB→ となる点 Q ,R をそれぞれ辺 AC ,AB 上にとる.線分 BQ ,CR の交点を I とし,線分 AI の延長が辺 BC と交わる点を P とする.
(1) BQ→ , CR→ を AB → と AC → を用いて表せ.
(2) AI→ =AB→ +λ⁢ BQ→ =AC→ +μ⁢ CR→ となる λ , μ を求めよ.
(3) BP→ = 23⁢ BC→ であることを示し, 3 角形 PQR と 3 角形 ABC の面積の比を求めよ.
1978-10001-0105
【5】 次の(a),(b)を満たす言語を考える.
(a) 相異なる 7 個の文字が用いられ,その内訳は母音字が 3 個,子音字が 4 個である.
(b) 次の 4 条件が満たされるように文字が 1 列に並んだものを単語という.
ただし, 1 個の文字からなる場合も含む.
(イ) 8 個以下の文字からなる.
(ロ) 必ず母音字で終わる.
(ハ) 母音字が続いて並ぶことはない.
(ニ) 子音字が続いて並ぶことはない.
この言語について次の問に答えよ.
(1) 4 文字からなる単語は何個あるか.
(2) 相異なる 5 文字からなる単語は何個あるか.
(3) この言語における単語の総数を求めよ.
1978-10001-0106
理科系
【2】 空間内に 4 点 A( 2,-2, 1), B( 1,4,- 1), C( 1,1,3 ), D(- 1,5,3 ) を考え, A ,B を通る直線を l 1, C ,D を通る直線を l2 とする.
(1) 直線 l1 を含み,直線 l2 に平行な平面 π の方程式を求めよ.
(2) 点 C から平面 π へ下ろした垂線の足を H とする.点 H の座標と線分 CH の長さを求めよ.
(3) 線分 CH の長さが直線 l1 上の動点 P と直線 l2 上の動点 Q との距離の最小値に等しいことを証明せよ.
1978-10001-0107
【3】(1) 不等式 2⁢ ( log0.5⁡ x) 2+9 ⁢log0.5 ⁡x+ 9≦0 を満たす x の範囲を求めよ.
(2) x が(1)で求めた範囲を動くとき
f⁡(x )=( log2⁡ x 3) ⁢ (log 2⁡ x4 )
の最大値 M と最小値 L を求めよ.
1978-10001-0108
【4】 2 個のさいころを同時に投げる試行を T とする.試行 T を 1 回行ったとき,出た目の数の差を X とする.
(1) X の期待値(平均値) E⁡ (X) と分散 V⁡ (X) を求めよ.
(2) 独立に 7 回試行 T をくり返して, X が奇数となるのが 3 回以上である確率を求めよ.
1978-10001-0109
【5】 f⁡(x )= a⁢x 2+b⁢ x+a+1 x2 +1 は x= -3 で極小値 0 をとるものとする.
(1) a ,b を求めよ.
(2) f⁡(x ) が極大となる x の値 c を求めよ.曲線 f⁡ (x) ,x 軸, y 軸および直線 x= c で囲まれた部分の面積 S を求めよ.
1978-10001-0110
【6】(1) an= ∫ 0π2 ⁡sin ⁡2⁢t ⁢(1 -sin⁡t )n- 12 ⁢dt の値を求めよ.ただし, n は自然数とする.
(2) (1)で求めた an について級数 ∑n= 1∞ ⁡(n+ 1)( an- an+ 1) の和を求めよ.