1978　東京大学　2次試験MathJax

【１】　半径$1$の円$\mathrm{O}$の周を$6$等分する点を図のように順次${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_6$とする．弧${\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_6$および半径$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2\text{，}\mathrm{O}{\mathrm{A}}_6$に接する円の中心を$\mathrm{P}$とし，この円$P$の周と線分$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{B}$とする．線分$\mathrm{O}{\mathrm{A}}_3$上に$\mathrm{OQ}=\mathrm{P}{\mathrm{A}}_1$を満たすように点$\mathrm{Q}$を定める．$\mathrm{Q}$を中心とし$\mathrm{Q}{\mathrm{A}}_3$を半径とする円周と円$P$の交点のうちで，直径${\mathrm{A}}_1\mathrm{B}$に関し点${\mathrm{A}}_2$と同じ側にあるものを$\mathrm{C}$とする．このとき$4$辺形$\mathrm{OPCQ}$は平行$4$辺形であることを証明せよ．また弧${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3\text{，}$弧${\mathrm{A}}_3\mathrm{C}\text{，}$弧$\mathrm{CB}{\mathrm{A}}_1$によって囲まれた利用域（図の太線で囲まれた部分）の面積を求めよ．

【２】　$2$つの放物線

$\{\begin{array}{ll}y=x^2-2x+2& \cdots \text{①}\\ y=-x^2+ax+b& \cdots \text{②}\end{array}$

は，それらの交点の$1$つ$\mathrm{P}$で，接線が互いに直交しているものとする．このとき，放物線$\text{②}$は，$a\text{，}b$の値に無関係な一定の点$\mathrm{Q}$を通ることを証明し，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

【３】　$x$の関数$f(x)=(x^2-4)(x^2-9)$の，$t\leqq x\leqq t+1$という範囲における最大値を$g(t)$とする．

　$t$が$-3\leqq t\leqq 3$の範囲を動くとき，関数$s=g(t)$を求め，そのグラフを描け．

【４】　$xy$平面で点$\mathrm{P}(-3,6)$を通り，曲線

$y=x^3-5x^2+x+9\cdots \text{①}$

に接する直線のうち，接点の$x$座標が$x\geqq 0$を満たすものを$\mathrm{PQ}\text{，}\mathrm{PR}$とする．ただし，これらの直線は点$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$において曲線$\text{①}$に接するものとする．このとき曲線$\text{①}$の点$\mathrm{Q}$から点$\mathrm{R}$までの部分と，線分$\mathrm{PQ}\text{，}$線分$\mathrm{PR}$で囲まれた領域の面積を求めよ．

【３】　$C$を放物線$y={\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．$C$上の点$\mathrm{Q}(t,{\displaystyle \frac{3}{2}}{t}^2-{\displaystyle \frac{1}{3}})$を通り，$\mathrm{Q}$における$C$の接線と垂直な直線を，$\mathrm{Q}$における$C$の法線という．

(1)　$xy$平面上の点$\mathrm{P}(x,y)$で$\mathrm{P}$を通る$C$の法線が$1$本だけ引けるようなものの存在範囲を求め，$xy$平面上に図示せよ．

(2)　(1)で求めた範囲と放物線の内部$(\text{不等式}y>{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{の定める範囲})$の共通部分の面積を求めよ．

【４】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{3}}& 5\\ 0& 3\end{array}\right)$に対し，次の問に答えよ．

　任意の整数$n>0$に対して，$A^n$を数学的帰納法を用いて求めよ．

　また，与えられた$\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$に対し

$A^n\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

とおくとき，極限

$u=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{\sqrt{{a_n}^2+{b_n}^2}}}\text{，}v=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{b_n}{\sqrt{{a_n}^2+{b_n}^2}}}$

を求めよ．ただし$\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$とする．

【５】　$3$角形$\mathrm{ABC}$において，各辺の長さを，$\mathrm{BC}=a\text{，}\mathrm{CA}=b\text{，}\mathrm{AB}=c$と記す．いま辺$\mathrm{BC}$を$n$等分する点を${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{n-1}$とし，${\mathrm{P}}_n=\mathrm{C}$とする．このとき極限

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}({\mathrm{A}{\mathrm{P}}_1}^2+{\mathrm{A}{\mathrm{P}}_2}^2+\cdots +{\mathrm{A}{\mathrm{P}}_n}^2)$

を求め，これを$a\text{，}b\text{，}c$で表わせ．

【６】　$xy$平面において放物線$y=x^2$の，$0<x<1$に対応する部分を$L$とする．（すなわち$L=\{(x,x^2)|0<x<1\}$である．）点$\mathrm{P}(x,x^2)$における$L$の接線が直線$y=0\text{，}$直線$x=1$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．また座標が$(0,0)\text{，}(1,0)\text{，}(1,1)$である$3$点を，それぞれ$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とする．

　以下つねに$0<x<1$という範囲で考えるものとする．

(1)　$▵\mathrm{PAC}\text{，}▵\mathrm{PCB}$の面積をそれぞれ$g(x)\text{，}h(x)$とするとき，$g(x)\leqq h(x)$となる$x$の範囲を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{OC}$および線分$\mathrm{CD}$と放物線の一部$L$とで囲まれた範囲を$M$とする．ただし，$M$はその周である線分$\mathrm{OC}\text{，}\mathrm{CD}$および$L$を含むものとする．いま$L$上の点$\mathrm{P}(x,x^2)$を頂点とし，$M$に含まれるような$3$角形のうちで，最大の面積をもつものの面積を$f(x)$とする．関数$f(x)$を求め，そのグラフを描け．また$f(x)$の極値を求めよ．

　ただし$I=\{x|0<x<1\}$の点$a$で，関数$f$が極小値(または極大値)をとるとは，$a$に近い$I$のすべての点$x$に対して$f(a)\leqq f(x)$（または$f(a)\geqq f(x)$）となることをいう．極大値と極小値をあわせて，極値という．