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1979 共通一次試験 本試験

数学I

(ⅱ)とあわせて配点35点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

(ⅰ) 二次関数

y=25 x2- ax+ 11 a は定数)

が,正の数 b によって

y=( 5x- b)2 +2

と表されるという.このとき,

a= アイ b =

である.したがって,この関数は x= のとき最小値 をとる.

1979 共通一次試験 本試

数学I

(i)とあわせて配点35点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【1】

(ⅱ) 放物線 y= x2- 2x+ 16 は直線 x= に関して対称であり,その頂点は ( , ケコ ) である.

1979 共通一次試験 本試

数学I

配点40点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【2】  1 から 20 までの自然数から選んだ,たがいに異なる三つの数の組合せのうち

(ⅰ) 偶数ばかりからなる組は アイウ 個ある.

(ⅱ)  3 の倍数を全く含まない組は エオカ 個ある.

(ⅲ)  3 の倍数を少なくとも一つ含む組は キクケ 個ある.

(ⅳ)  3 の倍数を,ちょうど一つだけ含む組は コサシ 個ある.

1979 共通一次試験 本試

数学I

配点45点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【3】 点 P OAB の内部(周を含まない)にあるための必要十分条件は

OP =aOA +b OB a>0 b>0 a+b <

であることを示そう.

(ⅰ) まず,点 P OAB の内部にあると仮定しよう.線分 OP の延長と辺 AB との交点を Q とする.線分 OP と線分 OQ の長さの比を s: 1 とおけば 0< s< であって, OP = OQ である.つぎに,線分 AQ と線分 AB の長さの比を t: 1 とおけば,

OQ =( - ) OA + OB

となる.したがって,

OP =( - クケ ) OA + コサ OB

が成り立つ.そこで,

a= - クケ b = コサ

とおけば a> 0 b>0 a+b < となる.

(ⅱ) 逆に, OP =a OA +b OB a >0 b> 0 a+b< であると仮定しよう.線分 AB b: a に内分する点を R とすれば,

OP =( + ) OR

が成り立ち, 0< + < であるから, P OAB の内部の点である.

1979 共通一次試験 本試

数学I

配点40点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【4】  a b は自然数で, a5 b5 24 けたの数であれば

10 アイ a5 b5 <10 アイ +1

であるから, a3 b3 のけた数 n は,

ウエ n ウエ +1 (ただし ウエ は自然数)

をみたしている.さらに a5b 5 の整数部分が 16 けたであれば

10 オカ a 5b5 < 10 オカ +1

であるから,

10 キク a10 <10 キク +2 10 <b 10<10

である.したがって, a けたの数であり, b けたの数である.

1979 共通一次試験 本試

数学I

配点40点

正解と配点

易□ 並□ 難□

【5】 半径 2 の円に内接する三角形 ABC があり,三辺の比は BC: CA:AB= 7:5: 3 であるという.このとき,

(ⅰ)  cosA= アイ sin A= である.また,

(ⅱ)  BC sinA = × (ABC の外接円の半径 ) という関係に着目すると, BC= が得られ,

(ⅲ)  ABC の面積は ケコ シス である.

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