1979　共通一次試験　追試験MathJax

【１】　一つの正六角形の辺と対角線とは合計$\boxed{\text{アイ}}$本ある．これらの線分全体から異なる$2$本の線分を選ぶ組合せは$\boxed{\text{ウエオ}}$通りである．これらのうち

(ⅰ)　選んだ$2$本の線分が平行である場合は$\boxed{\text{カキ}}$通りである．

(ⅱ)　選んだ$2$本の線分が頂点以外の点で交わる場合は$\boxed{\text{クケ}}$通りである．

【２】　下のア，イ，ウのおのおのには，問題と，それぞれに対応するある人の答案（推論と答）をあわせて掲げてある．おのおのの答案の適否を，次の(ⅰ)〜(ⅲ)の区分に従って答えよ．（したがって，各解答欄には三つずつのマークが入る．）

(ⅰ)　（推論）で述べていることを，（問題）の解答とは無関係に判断すれば，

• $0\cdots$計算まちがいなどの誤りがある
• $1\cdots$そのような誤りがない

(ⅱ)　（答）に書いてあることが，（問題）の最終解答として正しいかどうかを，（推論）とは無関係に判断して，

• $3\cdots$正しい
• $4\cdots$正しくない

(ⅲ)　（推論）と（答）の関係について，

• $6\cdots$（推論），（答）を合わせて，よい答案と考えられる
• $7\cdots$（推論）には不適当な部分があるが，（推論）で述べたことを認めれば，（答）で述べたことはすぐ得られる
• $8\cdots$（推論）で述べたことを正しいと認めても，（答）を得るのに無理があると考えられる

ア（問題）$x^2-10x+25=0$を解け．

（推論）左辺$f(x)=x^2-10x+25$を考えると，$f(1)=16\text{，}$$f(2)=9\text{，}$$f(3)=4\text{，}f(4)=1\text{，}$$f(5)=0$である．

（答）$x=5$

イ（問題）正三角形$\mathrm{ABC}$と長方形$\mathrm{DEFG}$とがあり，両者の周の長さは互いに等しく，長方形の二辺$\mathrm{DE}\text{，}\mathrm{EF}$の長さの比は$2:1$であるという．$▵\mathrm{ABC}$と$▭\mathrm{DEFG}$の面積はどちらが大きいか．

（推論）周の長さを$6a$とすると，$\mathrm{DE}=2a\text{，}$$\mathrm{EF}=a$であるから$▭\mathrm{DEFG}=2a^2$．また，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=2a\text{，}$$\angle \mathrm{ABC}=60°$であるから，正三角形の高さは$2a\times {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{3}a$．したがって

$▵\mathrm{ABC}=\sqrt{3}a\times 2a=2\sqrt{3}{a}^2>2a^2$

（答）$▵\mathrm{ABC}$の面積の方が大きい．

ウ（問題）サイコロが二つあり，どちらのサイコロについても，$1$から$6$までの目の出る確率は${\displaystyle \frac{1}{6}}$ずつであるという．この二つを同時に振ったとき，二つとも奇数の目がでる確率を求めよ．

（推論）二つを振ったとき，出た目の奇数，偶数で場合を分けると，$\text{①}$二つとも奇数，$\text{②}$二つとも偶数，$\text{③}$一つが奇数，他の一つが偶数，の三つの場合に分けられる．

（答）求める確率は${\displaystyle \frac{1}{3}}$である．

【３】　直線$x+\sqrt{3}y=a$（$a$は定数）と，円$x^2+y^2=1$とが，相異なる二点で交わるための必要十分条件は

$\boxed{\text{アイ}}<a<\boxed{\text{ウエ}}$

である．この条件がみたされるとき，その二つの交点を$\mathrm{P}(x_1,y_1)\text{，}$$\mathrm{Q}(x_2,y_2)$と表せば，$x_1\text{，}$$x_2$は二次方程式

$4x^2-\boxed{\text{オカ}}x+{\boxed{\text{キ}}}^2-\boxed{\text{ク}}=0$

の二根（二つの解）であり，$y_1\text{，}$$y_2$は二次方程式

$4x^2-2\sqrt{3}ax+{\boxed{\text{ケ}}}^2-\boxed{\text{コ}}=0$

の二根である．

　また，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$がともに第$1$象限にあるための必要十分条件は

$\sqrt{\boxed{\text{サ}}}<a<\boxed{\text{シ}}$

である．

【４】　変数$\theta$が$0<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$の範囲を動くとき，$\theta$の関数$t=\tan \theta +{\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}$を考える．

(ⅰ)　$t$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{ア}}\leqq t<\boxed{\text{イ}}$である．

(ⅱ)　$t$を用いて$\sin \theta \cos \theta \text{，}$$\sin \theta +\cos \theta \text{，}$$\sin \theta -\cos \theta$を表すと次のようになる．

• $\sin \theta \cos \theta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$
• $\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{\boxed{\text{オ}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}}$
• $\sin \theta -\cos \theta =\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コサ}}}{\boxed{\text{シ}}}}}$

【５】　$c$が定数で，$f$は点$(x,y)$を点$(x-y+1,cx+2y)$にうつす写像とする．$f$による三点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}(-1,2)$の像を，それぞれ${\mathrm{O}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{B}}^{\prime }$とする．

(ⅰ)　もし${\mathrm{O}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{B}}^{\prime }$が直線$y=\boxed{\text{アイ}}x+\boxed{\text{ウ}}$上にあれば，$c=\boxed{\text{エオ}}$である．

(ⅱ)　もし$\angle {\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{O}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }=90°$ならば，$c$は$\boxed{\text{カ}}$または$\boxed{\text{キ}}$に等しい．

(ⅲ)　$d$が定数で，$g$は点$(x,y)$を点$(y-2,-x+d)$にうつす写像とするとき，もし点${\mathrm{B}}^{\prime }$$\text{（}=f\left(\mathrm{B}\right)\text{）}$が$g$によって$\mathrm{A}$にうつされるならば，$c=\boxed{\text{ク}}\text{，}d=\boxed{\text{ケコ}}$である．