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1979-10007-0101
1979 室蘭工業大学
易□ 並□ 難□
【1】 f⁡( x)= x3+ 3⁢x 2+a⁢ x+5 ( a は定数)とする.
(1) 原点から曲線 y =f⁡( x) に引いた接線とこの曲線で囲まれる部分の面積を求めよ.
(2) 方程式 f ⁡(x )=0 が重複解(重解,重根ともいう)をもつように a の値を定めよ.
1979-10007-0102
【2】 複素数 z =x+y ⁢i に点 ( x,y ) を対応させるとき,複素数 α ⁢z に対応する点を ( u,v ) とする.ただし, α は複素数 a +b⁢i とする.
(1) (x ,y ) を ( u,v ) にうつす 1 次変換を ( u v) =A⁢ ( xy ) と表すとき,行列 A を a , b で表せ.
(2) (1)の 1 次変換が原点のまわりの π2 の回転となるように A を定めよ.
(3) (2)の行列 A に対して ( cos⁡θ ⋅E+sin ⁡θ⋅ A) 3=E となる θ を 0 ≦θ< 2⁢π の範囲で求めよ.ただし, E は 2 次の単位行列とする.
1979-10007-0103
【3】 関数 f ⁡(x ) の導関数は f ′⁡( x)= 4⁢x⁢ cos⁡x である.また, f⁡( x) の極大値のうちで最も小さいものを a , f⁡ (x ) の極小値のうちで最も大きいものを b とすれば, a⁢b= -( π-2 )2 が成り立つ.
このとき, f⁡( x) を求めよ.
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【4】
f⁡( x)= e1- x ,a k= ∫01 xk ⁢f⁡ (x )⁢d x ( k=1 ,2 , 3 ,⋯ )
とする.
(1) ak+ 1 を a k で表せ.
(2) sn= 1n ⁢ ∑ k=1 nk⁢ ak とおくとき limn→ ∞s n を求めよ.
(2) 曲線 y = 12⁢ e⁢ {f ⁡(x )+f ⁡(- x) } の x =0 から x =1 までの弧の長さを求めよ.