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1979 室蘭工業大学

易□ 並□ 難□

【1】  f( x)= x3+ 3x 2+a x+5 a は定数)とする.

(1) 原点から曲線 y =f( x) に引いた接線とこの曲線で囲まれる部分の面積を求めよ.

(2) 方程式 f (x )=0 が重複解(重解,重根ともいう)をもつように a の値を定めよ.

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【2】 複素数 z =x+y i に点 ( x,y ) を対応させるとき,複素数 α z に対応する点を ( u,v ) とする.ただし, α は複素数 a +bi とする.

(1)  (x ,y ) ( u,v ) にうつす 1 次変換を ( u v) =A ( xy ) と表すとき,行列 A a b で表せ.

(2) (1)の 1 次変換が原点のまわりの π2 の回転となるように A を定めよ.

(3) (2)の行列 A に対して ( cosθ E+sin θ A) 3=E となる θ 0 θ< 2π の範囲で求めよ.ただし, E 2 次の単位行列とする.

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【3】 関数 f (x ) の導関数は f ( x)= 4x cosx である.また, f( x) の極大値のうちで最も小さいものを a f (x ) の極小値のうちで最も大きいものを b とすれば, ab= -( π-2 )2 が成り立つ.

 このとき, f( x) を求めよ.

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【4】

f( x)= e1- x a k= 01 xk f (x )d x k=1 2 3

とする.

(1)  ak+ 1 a k で表せ.

(2)  sn= 1n k=1 nk ak とおくとき limn s n を求めよ.

(2) 曲線 y = 12 e {f (x )+f (- x) } x =0 から x =1 までの弧の長さを求めよ.

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