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1979 東京大学
文科・理科共通
【1】 xy 平面上の 4 点 A( 0,0) ,B( 1,0) ,C( 1,1) ,D( 0,1) を頂点とする正方形を Q とする.
実数 t に対して 1 次変換
Ut= ( 1+t t+t2 0 1+t ) ,Vt =( 1+ t0 t+t 21 +t )
を考え, Q が Ut によってうつされた図形と, Q が V t によってうつされた図形との共通分の面積を S⁡ (t) とする. t が t≧ 0 の範囲を動くとき, t の関数 S⁡ (t) のグラフの概形を描き, S⁡( t) のこの範囲での最大値を求めよ.
【2】 図のように,半径 1 の球が,ある円すいの内部にはめこまれる形で接しているとする.球と円すい面が接する点の全体は円をなすが,その円を含む平面を α とする.
円すいの頂点を P とし, α に関して P と同じ側にある球の部分を K とする.また, α に関して P と同じ側にある球面の部分および円すい面の部分で囲まれる立体を D とする.いま, D の体積が球の体積の半分に等しいという.
そのときの K の体積を求めよ.
文科
【3】 ある硬貨を投げるとき,表と裏がおのおの確率 12 で出るものとする.
この硬貨を 8 回くり返して投げ, n 回目に表が出れば Xn= 1 , 裏が出れば X n=- 1 とし S n=X 1+X 2+⋯ +Xn ( 1≦ n≦8 ) とおく.
このとき次の確率を求めよ.
(1) S2≠ 0 かつ S8 =2 となる確率.
(2) S4= 0 かつ S8 =2 となる確率.
理科は【3】
【4】 a を正の整数とし,数列 {u n} を次のように定める.
u1 =2 ,u2 =a2 +2 ,
un= a⁢u n-2 -u n-1 , n=3 ,4 ,5 ,⋯
このとき,数列 { un} の項に 4 の倍数が現れないために, a のみたすべき必要十分条件を求めよ.
理科
【4】 平面上の点 O を中心とする半径 1 の円周上に点 P をとり,円の内部または周上に 2 点 Q , R を, ▵PQR が 1 辺の長さ 23 の正 3 角形になるようにとる.このとき, OQ2 +OR2 の最大値および最小値を求めよ.
【5】 t を正の数とし,次の条件(A),(B)によって定まるxの 3 次式を f⁡ (x) とする.
(A) 曲線
y=f⁡ (x) ⋯①
は直線
y=x ⋯②
の上の 2 点 P( -t,- t), O(0 ,0) を通る.
(B) f′⁡ (0)= 0, f″⁡ (0)= 2
さて,曲線 ① と直線 ② との交点のうちで, x 座標が最大のものを Q とし,曲線 ① の点 O から点 Q までの部分と,線分 OQ とで囲まれた領域の面積を S⁡ (t) とする.このとき, limt →∞ ⁡S⁡ (t) を求めよ.
【6】 a を正の定数とし,座標平面上に 3 点 P0 (1 ,0) ,P 1( 0,a) , P2( 0,0) が与えられたとする.
P2 から P0 P1 に垂線をおろし,それと P0 P1 との交点を P 3 とする.
P3 から P1 P2 に垂線をおろし,それと P1 P2 との交点を P 4 とする.
以下同様にくり返し,一般に Pn が得られたとき, Pn から P n-2 Pn -1 に垂線をおろし,それと P n-2 P n-1 との交点を P n+1 とする.
このとき次の問に答えよ.
(1) P6 の座標を求めよ.
(2) 上の操作をつづけていくとき, P0 , P1 , P2 , ⋯, Pn , ⋯ はどのような点に限りなく近づくか.