1980　北海道大学MathJax

1980-10001-0101

1980　北海道大学

文II系

理，医，歯，水産【４】の類題

易□　並□　難□

【１】　 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4} ， a_{5} ， a_{6}$ は，おのおの， $1 ， 2 ， 3$ のどれかの値をとり， $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} = 12$ である．

　 ${a_{1}}^{3} + {a_{2}}^{3} + {a_{3}}^{3} + {a_{4}}^{3} + {a_{5}}^{3} + {a_{6}}^{3}$ の最大値を求めよ．

1980-10001-0102

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文II系

易□　並□　難□

【２】　

$A = (\begin{matrix} a & 1 - b \\ 1 - a & b \end{matrix}) （ a + b \neq 2 ）$

とし，各自然数 $n$ に対して $(\begin{matrix} x_{n} \\ y_{n} \end{matrix}) = A^{n} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ とおく．ただし， $A^{n}$ は $A$ の $n$ 個の積を表わす．

(1)　 $x_{n + 1}$ を $x_{n}$ と $a ， b$ で表せ．

(2)　 $x_{n} ， y_{n}$ を求めよ．

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文II系

易□　並□　難□

【３】　曲線 $C : y = x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 1$ 上の点 $P (1, 7)$ を通り， $P$ と異なる点で曲線 $C$ と接する直線を $l$ とする． $C$ とで $l$ 囲まれる図形の面積を求めよ．

1980-10001-0104

1980　北海道大学

文II系

理，医，歯，水産【３】の類題

易□　並□　難□

【４】　空間に $3$ 点 $O (0, 0, 0) ， N (0, 0, 1) ， S (0, 0, - 1)$ がある．点 $Q (r \cos θ, r \sin θ, 0) （ r > 0 ）$ に対し直線 $OQ$ 上に点 $R (\frac{1}{r} \cos θ, \frac{1}{r} \sin θ, 0)$ をとり，直線 $NQ$ と直線 $SR$ の交点を $P$ とする．線分 $OP$ の長さを求めよ．

1980-10001-0105

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理，医，歯，水産

易□　並□　難□

【１】　次の条件(イ)，(ロ)を満たす曲線 $C$ の方程式 $y = f (x) （ x ≧ 0 ）$ を求めよ．

(イ)　点 $(0, 1)$ を通る．

(ロ)　点 $(0, 1)$ から曲線 $C$ 上の任意の点 $(x, y)$ までの曲線の長さ $s$ が $s = e^{2 x} + y - 2$ で与えられる．

1980-10001-0106

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理，医，歯，水産

易□　並□　難□

【２】　 $x$ の関数 $f (x) = x^{3} + 2 a x + \frac{b}{x}$ がある．

(1)　 $f (x)$ が $x > 0$ で極大値と極小値をそれぞれ $1$ つずつもつための $a ， b$ の条件を求めよ．

(2)　(1)の条件のもとで， $f (x)$ の極大値を与える正の $x$ の値を $α$ とする． $\frac{b}{a^{2}}$ が $0$ に近づくときに， $α \sqrt{| \frac{a}{b} |}$ はどんな値に近づくか．

1980-10001-0107

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理，医，歯，水産

文II系【４】の類題

易□　並□　難□

【３】　空間に $3$ 点 $O (0, 0, 0) ， N (0, 0, 1) ， S (0, 0, - 1)$ がある．点 $Q (r \cos θ, r \sin θ, 0) （ r > 0 ）$ に対し直線 $OQ$ 上に点 $R (\frac{1}{r} \cos θ, \frac{1}{r} \sin θ, 0)$ をとり，直線 $NQ$ と直線 $SR$ の交点を $P$ とする． $r ， θ$ が $0 < r ， 0 ≦ θ ≦ 2 π$ の範囲を動くとき， $P$ はどのような図形の上を動くか．

1980-10001-0108

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理，医，歯，水産

文II系【１】の類題

易□　並□　難□

【４】　 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4} ， a_{5} ， a_{6}$ は，おのおの， $1 ， 2 ， 3$ のどれかの値をとり， $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} = 12$ である．

(1)　 ${a_{1}}^{3} + {a_{2}}^{3} + {a_{3}}^{3} + {a_{4}}^{3} + {a_{5}}^{3} + {a_{6}}^{3}$ の最大値を求めよ．

(2)　 ${a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + {a_{3}}^{2} + {a_{4}}^{2} + {a_{5}}^{2} + {a_{6}}^{2} = x$ とおくとき

${a_{1}}^{4} + {a_{2}}^{4} + {a_{3}}^{4} + {a_{5}}^{4} + {a_{6}}^{4} = k x + l$

となるように定数 $k ， l$ を定めよ．

1980-10001-0109

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理，医，歯，水産

易□　並□　難□

【５】　 $2$ つのさいころ（どの目の出る確率も等しい）を同時に投げて，同じ目が出るかどうかを調べるという試行を次の(イ)または(ロ)のいずれかが起きるまで続ける．

(イ)　同じ目がでる．

(ロ)　 $n$ 回投げ終える（ただし $n$ は与えられた回数とする）．

　このとき，さいころを投げる回数の期待値 $E_{n}$ を求めよ．また $E = \lim_{n \to \infty} E_{n}$ を求めよ．

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