1980　室蘭工業大学MathJax

【１】(1)　$2$点$(0,\sqrt{3})\text{，}(1,\sqrt{3})$をそれぞれ$2$点$({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}},{\displaystyle \frac{3}{8}})\text{，}({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}},{\displaystyle \frac{1}{4}})$にうつす$1$次変換の行列$A$を求めよ．

(2)　$B={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}& -1\\ 1& \sqrt{3}\end{array}\right)$と(1)で求めた$A$を用いて，ベクトル$\overrightarrow{x_n}\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を，関係式

$\overrightarrow{x_0}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\text{，}\overrightarrow{x_{n+1}}=\{\begin{array}{ll}A\overrightarrow{x_n}& \text{（}n=1\text{，}3\text{，}5\text{，}\cdots \text{）}\\ B\overrightarrow{x_n}& \text{（}n=0\text{，}2\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

で定義するとき，$\overrightarrow{x_n}$の成分の形を定めよ．

(3)　$|\overrightarrow{x_n}|\leqq {10}^{-3}$を満たす最小の$n$を求めよ．ただし，${\log }_{2}10=3.32$として計算せよ．

【２】

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-9& \text{（}|x|\leqq 3\text{のとき）}\\ 0& \text{（}|x|>3\text{のとき）}\end{array}$

で定義された$f(x)$に対して，$g(x)={\displaystyle {\int }_0^x}tf(t+2)dt$の最大値および最小値を$|x|\leqq 5$の範囲で求めよ．

【３】(1)　$0<a<b$のとき

${\displaystyle {\int }_a^b}{\displaystyle \frac{dx}{\sqrt{x}}}\leqq {\displaystyle \frac{(b-a)}{2}}({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{b}}})$

を証明せよ．

(2)　任意の正数$k$に対して，曲線$y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$上の$2$点$\mathrm{A}(k,y_1)\text{，}\mathrm{B}(k+1,y_2)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$と曲線$y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$とで囲まれた部分の面積$S(k)$を求めよ．

(3)　$17>1+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{81}}}>16{\displaystyle \frac{5}{9}}$を証明せよ．

【４】(1)　微分方程式

$f^{\prime }(x)+f(x)=e^{-x}\text{，}f(0)=0$

において，$f(x)=e^{-x}g(x)$とおき，$g(x)$を求めて$f(x)$の形を定めよ．

(2)　$x>0$で不等式

$e^x>1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$

を証明し，$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(3)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}f(k)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．