1980　東京大学MathJax

【１】　図のように，半径$a$の円の周を$8$等分する点を順に${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_8$とし，弦${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_4$と弦${\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_7\text{，}{\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_6$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とし，弦${\mathrm{A}}_5{\mathrm{A}}_8$と${\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_6\text{，}{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_7$の交点をそれぞれ$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$とする．

　このとき，正方形$\mathrm{PQRS}$の面積を求めよ．また，線分${\mathrm{A}}_1\mathrm{P}\text{，}{\mathrm{A}}_2\mathrm{P}$と弧${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2$とで囲まれる図形の面積を求めよ．

【２】　図のような立体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$がある．上底面$\mathrm{ABCD}\text{，}$下底面$\mathrm{EFGH}$はともに正方形であって，両底面はたがいに平行であり，$4$つの側面$\mathrm{ABFE}\text{，}\mathrm{BCGF}\text{，}\mathrm{CDHG}\text{，}\mathrm{DAEH}$は台形であって，$\mathrm{AE}=\mathrm{BF}=\mathrm{CG}=\mathrm{DH}$である．また下底面の$1$辺の長さは$12\text{，}$両底面の間の距離は$4$である．

　上底面の$1$辺の長さが$x$のとき，側面$\mathrm{ABFE}$の面積を$S(x)$とする．$x$が$2\leqq x\leqq 10$の範囲を動くときの$S(x)$の最大値と最小値を求めよ．

【３】　$n\text{，}a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は$0$または正の整数であって，

$\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2+c^2+d^2=n^2-6\\ a+b+c+d\leqq n\\ a\geqq b\geqq c\geqq d\end{array}$

を満たすものとする．このような数の組$(n,a,b,c,d)$をすべて求めよ．

【４】　$a\text{，}b$は$a^2-b^2=-1$を満たす定まった定数とし，$I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& -a\end{array}\right)$とおく．実数の組$(x,y)$について$Z=xI+yA$とおき，この$Z$に対して$Z^{\prime }=xI-yA$とおく．また零行列を$O$で表す．

(1)　等式

$Z{Z}^{\prime }-Z-Z^{\prime }-3I=O\cdots$(＊)

を満たすすべての$Z$に対する点$(x,y)$のつくる曲線を図示せよ．

(2)　$x^2+y^2\ne 0$のとき，$Z$の逆行列$Z^{-1}$があって$uI+vA$の形に表されることを示せ．また，等式(＊)をみたすすべての$Z$に対する点$(u,v)$のつくる曲線を図示せよ．

【１】　$1$辺の長さが$1$の正$3$角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$上に，それぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を$\mathrm{BC}=\mathrm{CQ}=\mathrm{AR}<{\displaystyle \frac{1}{2}}$となるようにとり，線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{CR}$の交点を${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{AP}$の交点を${\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}$線分$\mathrm{CR}$と線分$\mathrm{BQ}$の交点を${\mathrm{C}}^{\prime }$とする．$\mathrm{BP}=x$として，次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{B}{\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}\mathrm{P}{\mathrm{B}}^{\prime }$を$x$を用いて表せ．

(2)　三角形${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$の面積が$3$角形$\mathrm{ABC}$の面積の${\displaystyle \frac{1}{2}}$になるような$x$の値を求めよ．

【２】　長さ$2$の線分$\mathrm{NS}$を直径とする球面$K$がある．点$\mathrm{S}$において球面$K$に接する平面の上で，$S$を中心とする半径$2$の$4$分円（円周の${\displaystyle \frac{1}{4}}$の長さをもつ円弧）$\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$と線分$\mathrm{AB}$をあわせて得られる曲線上を，点$\mathrm{P}$が$1$周する．このとき，線分$\mathrm{NP}$を球面$K$との交点$\mathrm{Q}$の描く曲線の長さを求めよ．

【３】　$\alpha$を実数，$A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$とし，正整数$n$について$\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ q_n\end{array}\right)=A^n\left(\begin{array}{c}\alpha \\ 1\end{array}\right)$とおく．

(1)　ある$n$について$q_n=0$となるような$\alpha$の値をすべて求めよ．

(2)　すべての$n$について$q_n\ne 0$となるような$\alpha$を考える．そのとき，$a_n={\displaystyle \frac{p_n}{q_n}}$を$\alpha$を用いて表し，また，$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n\text{，}\cdots$の値のうちで異なるものの個数を求めよ．

【４】　$xy$平面上の動点$\mathrm{P}$の座標$(x,y)$は，時刻$t$を用いて

$\{\begin{array}{l}x=\sin t+\cos t\\ y=k{\sin }^{2}t{\cos }^{2}t\end{array}\text{（}-\infty <t<\infty \text{）}$

と表されるものとする．ただし$k$は正の定数である．このとき原点と$\mathrm{P}$との間の距離の$2$乗の最大値および最小値を，$k$を用いて表せ．

【５】　$1$辺の長さが$1$の正$4$面体${\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3$がある．点$\mathrm{P}$はこの正$4$面体の辺上を毎秒$1$の速さで動き，各頂点に達したとき，そこから出る$3$辺のうちの$1$辺を${\displaystyle \frac{1}{3}}$ずつの確率で選んで進む．$\mathrm{P}$は時刻$t=0$において頂点${\mathrm{A}}_0$にあるとする．また$n$を$0$または正の整数とし，点$\mathrm{P}$が時刻$t=n$において頂点${\mathrm{A}}_i$にある確率を$p_i(n)$で表す（$i=0\text{，}1\text{，}2\text{，}3$）．

(1)　数学的帰納法を用いて，$p_1(n)=p_2(n)=p_3(n)$を証明せよ．

(2)　$p_0(n)$と$p_1(n)$の値を求めよ．

【６】　$xy$平面の第$1$象限にある点$\mathrm{A}$を頂点とし，原点$\mathrm{O}$と$x$軸上の点$\mathrm{B}$を結ぶ線分$\mathrm{OB}$を底辺とする$2$等辺$3$角形（$\mathrm{AO}=\mathrm{AB}$）の面積を$s$とする．この$3$角形と不等式$xy\leqq 1$で表される領域との共通部分の面積を求め，これを$s$の関数として表せ．