1981　共通一次試験　本試験MathJax

【１】

(1)　$\sqrt[3]{54}+{\displaystyle \frac{3}{2}}\sqrt[6]{4}+\sqrt[3]{-{\displaystyle \frac{1}{4}}}=2^p$とおけば

$p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$

である．

【１】

(2)　$a={\displaystyle \frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}}\text{，}$$b={\displaystyle \frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}}$のとき

${\log }_2(a^2+ab+b^2)=\boxed{\text{ウ}}$

である．

【１】

(3)　$x$の関数

$f(x)=2{({\log }_{2}2x)}^2+{\log }_2{(2x)}^2+2{\log }_{2}x+2$

において${\log }_{2}x=t$とおけば，上式の右辺は

$\boxed{\text{エ}}{t}^2+\boxed{\text{オ}}t+\boxed{\text{カ}}$

となるから，$f(x)$は$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$のとき最小値$\boxed{\text{ケコ}}$をとる．

【２】　$a=t^2+3\text{，}$$b=-t^2-2t+2\text{，}$$c=4t$とする．

(ⅰ)　$a>0\text{，}$$b>0\text{，}$$c>0$が同時に成り立つための必要十分条件は

$\boxed{\text{ア}}<t<\boxed{\text{イ}}$

である．

(ⅱ)　$a>b>0\text{，}$$a>c>0$が同時に成り立つための必要十分条件は

$\boxed{\text{ウ}}<t<\boxed{\text{エ}}$

である．

(ⅲ)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を$3$辺の長さとする三角形が存在するための必要十分条件は

$\boxed{\text{オ}}<t<\boxed{\text{カ}}$

である．

(ⅳ)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を$3$辺の長さとする三角形の最大の角の大きさは

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\pi$

である．

(v)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を$3$辺の長さとする三角形が二等辺三角形となるのは

$t=\boxed{\text{ケ}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}-\boxed{\text{サ}}$

のときである．

【３】　連立一次不等式

$\{\begin{array}{l}4+y-22\geqq 0\\ 7x+6y-81\leqq 0\\ x-4y+3\leqq 0\end{array}$

の表す平面上の領域を$F$とし，二次不等式

${(x-6)}^2+{(y-6)}^2\leqq r^2\text{（}r>0\text{）}$

の表す平面上の領域を$G$とする．

(ⅰ)　直線$3x+2y=k$が$F$と共有点をもつための$k$の範囲は

$\boxed{\text{アイ}}\leqq k\leqq \boxed{\text{ウエ}}$

である．

(ⅱ)　領域$G$が領域$F$を含むための$r$の範囲は

$\boxed{\text{オ}}\leqq r$

である．

(ⅲ)　直線$x-2y-9=0$が$G$と共有点をもたないための$r$の範囲は

$0<r<\boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$

である．

【４】　一直線上にない$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$がある．

(ⅰ)　線分$\mathrm{AB}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{M}$とすると

$\overrightarrow{\mathrm{OM}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

である．

(ⅱ)　線分$\mathrm{OA}$を$2:3$の比に内分する点を$\mathrm{N}$とし，直線$\mathrm{BN}$と直線$\mathrm{OM}$との交点を$\mathrm{P}$とすると

• ${\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{BN}}=\frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}\text{，}\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OM}}=\frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$
• $\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}}$

である．

【５】(1)　$25$本中に$6$本の当たりくじが入っているくじがある．

(ⅰ)　このくじを続けて$3$本引くときに，当たりくじがちょうど$2$本入っている確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウエオ}}}}$である．

(ⅱ)　このくじをはじめに$\mathrm{A}$が$1$本引き，つぎに$\mathrm{B}$が$1$本引くとき，$\mathrm{B}$の引いたくじが当たりくじである確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キク}}}}$である．

(2)　$20$本中に$\boxed{\text{ケ}}$本の当たりくじが入っているくじがある．このくじを続けて$2$本引くときに，そのうちの少なくとも$1$本が当たりくじである確率は${\displaystyle \frac{7}{19}}$である．