1981　北海道大学MathJax

【１】(1)　$x$の$2$次関数

$x^2-2(a-3)x+(1+b)a^2-12a+1$

の最小値$A$を$a\text{，}b$で表せ．またこの関数の$a\leqq x$における最小値$B$を$a\text{，}b$で表せ．

(2)　$x\text{，}y$が実数全体を自由に動くとき

$x^2-2(y-3)x+(1+b)y^2-12y+1$

の最小値が$-b$となる$b$の値を求めよ．

【２】　空間に平面$\pi :3x+2y+z=1$と$2$直線

$l_1:{\displaystyle \frac{x-1}{2}}={\displaystyle \frac{y-2}{3}}={\displaystyle \frac{z-3}{4}}\text{，}{l}_2:{\displaystyle \frac{x}{2}}=y+1=z$

が与えられている．

(1)　平面$\pi$と直交し，直線$l_1$を含む平面の方程式を求めよ．

(2)　平面$\pi$と直交し，$2$直線$l_1\text{，}{l}_2$と交わる直線の方程式を求めよ．

【３】　$a$が$1\leqq a\leqq 4$を満たすとき，$2$つの放物線

$C_1:y={\displaystyle \frac{1}{a}}{x}^2-x+a\text{，}{C}_2:y={\displaystyle \frac{6}{a^2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{6}{a}}x+a$

で囲まれる図形の面積の最大値，最小値およびそのときの$a$の値を求めよ．

【４】　血液型が$\mathrm{A}$型の人は全人口の$25\%$であるとする．

(1)　$16$人を無作為に選んだとき，$16$人全員が$\mathrm{A}$型以外の血液型をもつ確率を求め，その値を${\log }_{10}2=0.301\text{，}{\log }_{10}3=0.477$として計算せよ．

(2)　$18$人を無作為に選んだとき，$\mathrm{A}$型の血液型をもつ人がちょうど$2$人である確率を求めよ．

【１】(1)　$2$曲線$y=\sqrt{x}\text{，}y={\displaystyle \frac{e}{2}}\log x$が$1$点$(e^2,e)$のみを共有することを証明せよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(2)　(1)の$2$曲線と$x$軸とで囲まれる図形の面積を求めよ．

【４】　$n$を自然数とする．数直線上で点${\displaystyle \frac{1}{2^{n+2}}}$と点${\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}}$を両端とする線分を$A_n$とする．

(1)　どんな$n$に対しても$A_n$と$A_{n+1}$は交わることを証明せよ．

(2)　線分$A_n\cap A_{n+1}$の長さを$d_n$とするとき，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{d}_n$を求めよ．

【５】　$f(x)$が$0<x\leqq 1$で連続な関数であるとき，$0<a\leqq 1$となる実数$a$に対して$F(x)={\displaystyle {\int }_{ax}^x}f(t)dt\text{（}0<x\leqq 1\text{）}$とする．

(1)　${\displaystyle \frac{d}{dx}}F(x)$を求めよ．

(2)　どんな$a\text{（}0<a\leqq 1\text{）}$に対しても$F(x)$は$x$によらない定数になるものとし，この定数を$P(a)$で表す．さらに$f(1)=1$であるとき，$f(x)$および$P(a)$を求めよ．