1981　室蘭工業大学MathJax

【１】

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& d\end{array}\right)\text{，}-1<a<1\text{，}-1<d<1\text{，}a\ne d$

とし，$E$は単位行列とする．

(1)　$A=aX+dY\text{，}X+Y=E$となる行列$X\text{，}Y$を求めよ．

(2)　$A^n=a^{n}X+d^{n}Y$であることを示せ．

(3)　$E+A+A^2+\cdots +A^n$で定義される行列を$\left(\begin{array}{cc}{x}_n& y_n\\ z_n& w_n\end{array}\right)$とおくとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$を求めよ．

【２】　$1$辺の長さが$1$である正$4$面体の頂点を$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とする．

(1)　$\mathrm{O}$を原点に，$\mathrm{A}$を$(1,0,0)$に重ね，$\mathrm{B}$を$xy‐$平面上に，$\mathrm{C}$を$x>0\text{，}y>0\text{，}z>0$の部分におく．ベクトルの長さと内積の定義を用いて，頂点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の座標を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$および，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角をそれぞれ$2$等分する$2$つのベクトルのなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

【３】(1)　$a$を正の実数とし

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2a}}x& \text{（}|x|\leqq a\text{）}\\ |x|-a& \text{（}|x|>a\text{）}\end{array}$

とする．$y=f(x)\text{，}x=\pm 1\text{，}y=0$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積$V(a)$を求めよ．

(2)　$V(a)$の最小値およびそのときの$a$の値を求めよ．

【４】　$f(x)$は$2$回微分可能な関数で

$f(x_0)=\alpha \text{，}{f}^{\prime }(x_0)={\alpha }^{\prime }\text{，}$かつ$f^{″}(x)<0\text{（}x>0\text{）}$

とする．曲線$y=f(x)$上の点$(t,f(t))\text{（}t>0\text{）}$におけるこの曲線の接線と，この曲線および$y$軸とで囲まれる部分の面積は

${\displaystyle {\int }_0^t}(t-x)g^{\prime }(x)dx$

で与えられる．ここで$g(x)$は，$g^{\prime }(x)$が$x>0$で連続な関数で$g(0)=0$とする．

(1)　$f(x)$の満たす微分方程式を導け．

(2)　一般に$n$を正の整数，$h(x)$を連続な関数とするとき

${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\displaystyle {\int }_a^x}{(x-t)}^{n}h(t)dt=n{\displaystyle {\int }_a^x}{(x-t)}^{n-1}h(t)dt$

が成り立つことを証明せよ．（$a$は任意の定数である．）

(3)　(1)の微分方程式を満たす$f(x)$は，$x>0$の範囲で

$f(x)=\alpha +{\alpha }^{\prime }(x-x_0)+\boxed{}$

の形である．上式の$\boxed{}$を埋めよ．