1981　旭川医科大学MathJax

【１】(1)　曲線$C$上の任意の点$\mathrm{P}$から，$x$軸，$y$軸に下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$とするとき，点$\mathrm{P}$における接線と直線$\mathrm{MN}$との交点$\mathrm{Q}$は，つねに直線$y=x$上にあるという．曲線$C$の方程式を求めよ．

(2)　とくに点$(1,{\displaystyle \frac{3}{2}})$が曲線$C$上にある場合，この曲線上にあるすべての整数点を求めよ．ここに整数点とは，その座標がともに整数であるような点である．

(3)　(2)における曲線$C$の概形をかけ．

【２】　$x$軸上を運動する動点$\mathrm{P}$の時刻$t$のおける速度$v$が$v=(t^2-1)e^{-t}$で与えられているとする．ただし$t=0$のとき，点$\mathrm{P}$は原点にあるものとする．

(1)　速度$v$が最小となる時刻を求めよ．

(2)　時刻$t=-2$から$t=2$までに点$\mathrm{P}$の動いた道のりを求めよ．

(3)　時刻$t=-1$における点$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．また$t=-1$およびその前後では点$\mathrm{P}$はどんな動きをするか．

【３】(1)　次の$\boxed{}$の中にあてはまる適当な数値を所定の解答欄に記入せよ（結果だけでよい）．

　$1$つの箱の中に$\mathrm{A}$型の薬$12$個，$\mathrm{B}$型の薬$8$個が，入っている．この箱の中より同時に$2$個取り出すとき，その中に含まれている$\mathrm{B}$型の薬の個数を$X$とすると，$X$のとる値は$\boxed{}$である．このとき$X$の平均は$\boxed{}\text{，}$分散は$\boxed{}$となる．

(2)　$\mathrm{B}$型の薬の有効率（服用して効き目のある確率）は$0.6$であるといわれている．$\mathrm{A}$型の薬を$200$人の患者に与えたところ，$134$人の患者に効き目があったという．$\mathrm{A}$型の薬は$\mathrm{B}$型の薬より，すぐれているといえるか．有意水準$5\mathrm{\%}$で検定せよ．