1982　共通一次試験　追試験MathJax

【１】

(1)　$x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{8}}}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{8}}}$のとき

$x^3-y^3=\boxed{\text{アイウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$

である．

【１】

(2)　$1+\sqrt{5}i$が方程式$x^4+p{x}^2+q=0$の$1$つの解であれば

$p=\boxed{\text{オ}}\text{，}$$q=\boxed{\text{カキ}}$

である．ただし，$i$は虚数単位を表し，$p\text{，}$$q$は実数とする．

【１】

(3)　$\sin \theta +\cos \theta =\sin \theta \cos \theta$であれば

$\sin \theta \cos \theta =\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}+\boxed{\text{コ}}$

である．

【２】　放物線$y=x^2-2x+4$と直線$y=kx$とが異なる$2$点で交わるのは

$k>\boxed{\text{ア}}\text{または}k<\boxed{\text{イウ}}$

のときである．このとき，上の放物線と直線の交点を，原点$\mathrm{O}$に近い方から$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．

(ⅰ)　$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{OQ}$の中点になるのは

$k=\boxed{\text{エオ}}\pm \boxed{\text{カ}}\sqrt{\boxed{\text{キ}}}$

のときである．

(ⅱ)　$k$が$k>\boxed{\text{ア}}$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点が描く図形は，放物線

$y=\boxed{\text{ク}}{x}^2-\boxed{\text{ケ}}x$

の$x>\boxed{\text{コ}}$を満たす部分である．

【３】　半径$1$の円に内接する正$8$角形$\mathrm{ABCDEFGH}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\overrightarrow{b}$とおく．

(ⅰ)　ベクトル$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$の大きさは，それぞれ

• $|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{\boxed{\text{ア}}}$
• $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}+\boxed{\text{エ}}$

である．

(ⅱ)　$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いてベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AE}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を表すと，それぞれ

• $\overrightarrow{\mathrm{AE}}=(\sqrt{\boxed{\text{オ}}}+\boxed{\text{カ}})(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$
• $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=(\sqrt{\boxed{\text{キ}}}+\boxed{\text{ク}})\overrightarrow{a}$$+(\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}+\boxed{\text{コ}})\overrightarrow{b}$

となる．

【４】　下記のア，イ，ウ，エのそれぞれの$2$条件(A)と(B)の関係について，次の$\overline{)\text{1}}\text{，}$$\overline{)\text{2}}\text{，}$$\overline{)\text{3}}\text{，}$$\overline{)\text{4}}$のうちどの場合が成り立つか．成り立つものを$1$つ選んでマークせよ．

• $\overline{)\text{1}}$　「(A)ならば(B)」，「(B)ならば(A)」がともに正しい．
• $\overline{)\text{2}}$　「(A)ならば(B)は正しいが，「(B)ならば(A)」は正しくない．
• $\overline{)\text{3}}$　「(A)ならば(B)」は正しくないが，「(B)ならば(A)」は正しい．
• $\overline{)\text{4}}$　「(A)ならば(B)」，「(B)ならば(A)」のどちらも正しくない．

ア　$x\text{，}y$は実数とする．

• (A)　$(x^2-7x-y+10)\{{(x-3)}^2+{(y+1)}^2\}=0$
• (B)　$\text{「}x=1\text{，}$$y=4\text{」}$または$\text{「}x=3\text{，}$$y=-1\text{」}$

イ　$a\text{，}$$b$は正の数とする．

• (A)　$a\ne 1\text{，}b>1$
• (B)　${\log }_a{a}^{2}b>2$

ウ　$k$は実数とする．

• (A)　$2$つの$2$次方程式$k{x}^2-4x+(k-3)=0\text{，}$$x^2+2kx+(k-2)=0$がともに実数解をもつ．
• (B)　$1\leqq k\leqq 4$

エ　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}\text{，}$$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$B\text{，}$$C$とし，辺$\mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$b\text{，}$$c$とする．

• (A)　$b=c$
• (B)　$b\sin B=c\sin C$

【５】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$人が次の約束に従ってゲームを行う．

• (1)　$2$人ずつ対戦してゲームを進める．
• (2)　最初に$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦し，次からは勝った方が残りの$1$人と対戦する．
• (3)　$2$回つづけて勝った人が出たら，その人を優勝者としてゲームは終了する．
• (4)　$7$回の対戦を行っても優勝者が出ないときは，優勝者なしとする．

　ただし，各対戦には引き分けがない．また，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$は同じ強さであるが，$\mathrm{C}$は$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$よりも強くて，$\mathrm{C}$が$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$に勝つ確率はともに${\displaystyle \frac{3}{5}}$であるという．

(ⅰ)　優勝者なしとなる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウエ}}}}$である．

(ⅱ)　$4$回以下の対戦でゲームが終了する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キク}}}}$である．

(ⅲ)　最初の対戦に勝った人が優勝する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サシス}}}}$である．