1982　北海道大学MathJax

【１】　平面の$2$定点を$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(2,0)$とし，直線$y=mx\text{（}m\ne 0\text{）}$を$l$とする．

(1)　直線$l$に関する点$\mathrm{B}$の対称点を求めよ．

(2)　直線$l$上に点$\mathrm{P}$を，線分の長さの和$\mathrm{AP}+\mathrm{PB}$が最小となるようにとる．$m$が変化するとき，点$\mathrm{P}$の描く図形を求めよ．

【２】(1)　$|X|+|Y|\leqq 2$を満たす点$\mathrm{P}(X,Y)$の存在する範囲を$XY$平面に図示せよ．

(2)　$x=X-Y\text{，}y=XY$とおく．点$\mathrm{P}(X,Y)$が(1)の範囲を動くとき，点$\mathrm{Q}(x,y)$の動く範囲を求め，これを$xy$平面に図示せよ．

【３】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$によって表される$1$次変換を$f$とする．ただし$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は実数とする．$f$が次の条件(イ)，(ロ)を同時に満たすとき，行列$A$を求めよ．

(イ)　行列$\left(\begin{array}{cc}1& -3\\ 3& 1\end{array}\right)$によって表される$1$次変換$g$に対して$f\circ g=g\circ f$が成り立つ．

(ロ)　ベクトル$\overrightarrow{e}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$とベクトル$f(\overrightarrow{e})$のなす角が${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$で，$\overrightarrow{e}$と$f(\overrightarrow{e})$を$2$辺とする平行$4$辺形の面積は${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}$である．

【４】　$t\geqq 0$に対し，曲線$y=x^2-t^2\text{（}x\geqq 0\text{）}$と$x$軸，$y$軸および直線$x=1$で囲まれた部分の全面積を$S(t)$とおく．

(1)　$S(t)$を求めよ．

(2)　$t$が変化するとき，$S(t)$の最小値を求めよ．

【２】　$a+b=c+d$を満たす行列$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$全体の集合を$\mathrm{R}$とする．ただし$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は実数とする．

(1)　$A\text{，}B\in \mathrm{R}$のとき，$AB\in \mathrm{R}$であることを示せ．

(2)　$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \mathrm{R}$とする．$b\ne 0$または$c\ne 0$のとき，$A\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{u}$を満たす実数$k$と単位ベクトル$\overrightarrow{u}$の組をすべて求めよ．

【３】　関数$y=e^{-\sqrt{3}x}\sin (3x+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$について，次の問に答えよ．

(1)　$n$を任意の整数とするとき，この関数は開区間$({\displaystyle \frac{2(n-1)}{3}}\pi ,{\displaystyle \frac{2n}{3}}\pi )$で極大値および極小値をそれぞれ$1$回ずつとることを示せ．

(2)　$y_n$を開区間$({\displaystyle \frac{2(n-1)}{3}}\pi ,{\displaystyle \frac{2n}{3}}\pi )$での極大値とするとき，和${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{y}_n$を求めよ．

【４】　微分可能な関数$f(x)$と$3$次関数$g(x)$が，すべての$x$に対して

${\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt=xf(x)+g(x)$

を満たしている．

(1)　$g(x)$が$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$で極値をとり，$g(1)={\displaystyle \frac{1}{3}}$であるとき，$g(x)$を求めよ．

(2)　(1)で求めた$g(x)$に対して，$f(1)=5$を満たす$f(x)$を求めよ．

【５】　$n$個の袋があり，第$k$番目の袋には赤い球が$k$個と白い球が$n-k$個入っている．袋の$1$つを無作為に選び，その袋から球を無作為に$1$つ取り出し色を見てもとに戻すことをその選ばれた袋で$6$回くり返すものとする．このとき，赤い球をちょうど$3$回取り出す確率を$P_n$とし，$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n$を求めよ．

【２】　正数$a\text{，}b$に対して$\tan \theta ={\displaystyle \frac{b}{a}}$で$\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を決め$A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$とおく．$2$点$\mathrm{P}(x,y)\text{，}\mathrm{Q}(x^{\prime },y^{\prime })$に対して$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$のとき，$\mathrm{Q}=A\mathrm{P}$と書く．点${\mathrm{P}}_1(a,b)$と原点を通る直線を$l$とする．いま，${\mathrm{Q}}_1=A{\mathrm{P}}_1$とし，以下順次${\mathrm{Q}}_n$を${\mathrm{Q}}_n=A{\mathrm{P}}_n\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$により決める．ただし，${\mathrm{P}}_n$は${\mathrm{Q}}_{n-1}$から$l$へ下ろした垂線の足とする．

(1)　${\mathrm{Q}}_1$の座標を$a\text{，}b$で表せ．

(2)　${\mathrm{Q}}_n$の座標を$a\text{，}b$で表せ．

【３】　$2$次関数$f(x)$が次の条件(イ)，(ロ)を同時に満たしているとする．

(イ)　$f(x-1)=f(-x-1)$

(ロ)　${\displaystyle {\int }_{-3}^{-1}}f(x)dx=k$のとき${\displaystyle {\int }_{-2}^1}f(x)dx=k^2$

　次の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_{-1}^0}f(x)dx$を$k$で表せ．

(2)　${\displaystyle {\int }_{-2}^0}f(x)dx=12$となる$k$の正の値と，そのときの$f(x)$を求めよ．

【４】　関数$y=e^{-\sqrt{3}x}\sin (3x+{\displaystyle \frac{\pi }{8}})$の極値を求めよ．

【５】　$f(x)$は，$x>0$で定義された微分可能な関数で，つねに$f(x)>0$かつ$f^{\prime }(x)<0$とする．曲線$y=f(x)$上の任意の点$\mathrm{P}(x,f(x))$に対し，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を次のように決める．この曲線の点$\mathrm{P}$における接線が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}$点$\mathrm{P}$から$x$軸，$y$軸に下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とする．また，原点を$\mathrm{O}$として，$3$角形$\mathrm{ABO}$の面積を$S(x)\text{，}$長方形$\mathrm{OCPD}$の面積を$T(x)$とする．

(1)　$S(x)$を求めよ．

(2)　すべての正の数$x$に対して$S(x)=2T(x)$を満たすような$f(x)$を求めよ．