1983　共通一次試験　本試験MathJax

【１】

(1)　$x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}\text{，}$$y={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}$であるとき

$3x^2-5xy+3y^2=\boxed{\text{アイウ}}$

である．

【１】

(2)　方程式${\log }_2(x^2+8x+3)=2{\log }_2(x+5)-1$の解は

$\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}-\boxed{\text{カ}}$

である．

【１】

(3)　次の文中の$\boxed{\text{キ}}\text{，}$$\boxed{\text{ク}}$のそれぞれに入れるのに適当な語句を，下の$\overline{)\text{1}}\text{〜}\overline{)\text{4}}$のうちから一つずつ選べ．

(ⅰ)　$2\sin \theta =1$であることは，$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$であるための$\boxed{\text{キ}}$

(ⅱ)　$m$を自然数とする．$m$が整数$n$により$m=n(n+1)+1$と表されることは，$m$が奇数であるための$\boxed{\text{ク}}$

• $\overline{)\text{1}}$　必要十分条件である．
• $\overline{)\text{2}}$　必要条件であるが，十分条件ではない．
• $\overline{)\text{3}}$　十分条件であるが，必要条件ではない．
• $\overline{)\text{4}}$　必要条件でも十分条件でもない．

【２】　$xy$平面において方程式

$x^2+y^2-6x-8y+16=0$

で表される円を$C$とする．このとき

(ⅰ)　円$C$の中心の座標は$(\boxed{\text{ア}},\boxed{\text{イ}})$であり，その半径は$\boxed{\text{ウ}}$である．

(ⅱ)　円$C$と直線$y=kx$（$k$は定数）が異なる$2$点で交わるような$k$の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オカ}}}}<k$

である．

(ⅲ)　直線$y=-x$に関して，円$C$の中心と対称な点の座標は

$(\boxed{\text{キク}},\boxed{\text{ケコ}})$

であり，円$C$と対称な円の方程式は

$x^2+y^2+\boxed{\text{サ}}x+\boxed{\text{シ}}y+\boxed{\text{スセ}}=0$

である．

【３】

(1)　$x$の$3$次式

$2x^3-x^2-2x+1$

と$x$の$2$次式

$2x^2+3px+p^2$ （$p$は定数）

の最大公約数が$x-1$であるとき

$p=\boxed{\text{アイ}}$

である．

【３】

(2)　$x$の$3$次式

$f(x)=x^3+k{x}^2+lx+m$（$k\text{，}l\text{，}m$は定数）

は，次の二つの条件を満足しているとする．

• 1)　$f(x)$を$x^2+x+1$で割ると，余りは$5x-3$である．
• 2)　$f(x)$を$x-1$で割ると，余りは$-4$である．

このとき

$k=\boxed{\text{ウエ}}\text{，}$$l=\boxed{\text{オ}}\text{，}$$m=\boxed{\text{カキ}}$

であり，方程式$f(x)=0$の解は

$\boxed{\text{ク}}\text{，}$$\pm \sqrt{\boxed{\text{ケ}}}i$（$i$は虚数単位）

である．

【４】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$3$辺の長さを$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=8\text{，}$$\mathrm{CA}=7$とする．このとき

(ⅰ)　

$\angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\pi$

であり，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は

$\boxed{\text{ウエ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}$

である．

(ⅱ)　三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{GA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{GB}}$とおけば

$\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\boxed{\text{カ}}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$

である．また，辺$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{BM}=3$となるように点$\mathrm{M}$をとれば

$\overrightarrow{\mathrm{GM}}={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{キ}}}}(\boxed{\text{クケ}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{コ}}\overrightarrow{b})$

である．さらに，辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AN}=2$となるように点$\mathrm{N}$をとり，上と同様に$\overrightarrow{\mathrm{GN}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で書き表せば

$\overrightarrow{\mathrm{GM}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\overrightarrow{\mathrm{GN}}=\overrightarrow{0}$

であることがわかる．

【５】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の$4$チームが次の方式で試合を行って優勝チームをきめる．

　まず抽選によって$2$チームずつ$2$組にわかれて試合をし，その勝者同士で試合をして，勝った方を優勝チームとする．

　なお，どの試合にも引き分けはなく，実力が同じチームが試合をしたときに一方が勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$であり，強いチームが弱いチームと試合をしたときに強いチームが勝つ確率は${\displaystyle \frac{3}{5}}$であるとする．

(1)　$4$チームの実力が同じであるとする．このとき

(ⅰ)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が試合をする確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(ⅱ)　$\mathrm{A}$が優勝する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

(2)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$はそれぞれ実力が同じであるが，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$は$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$より強いとする．このとき

(ⅰ)　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が試合をする確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キク}}}}$である．

(ⅱ)　$\mathrm{A}$が優勝する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケコ}}}{250}}$である．