1983　共通一次試験　追試験MathJax

【１】

(1)　$x$の$2$次方程式

$x^2+2(1+{\log }_{7}k)x+(3+{\log }_{7}k)=0$

が異なる二つの実数解をもつような$k$の範囲は

$\boxed{\text{ア}}<k<{\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{イウ}}}}\text{，}$$\boxed{\text{エ}}<k$

である．

【１】

(2)　$xy$平面上の点の集合

$\mathrm{A}=\{(x,y)|y\geqq mx+h\}\text{，}$$\mathrm{B}=\{(x,y)|y\leqq -\left|x\right|\}$

について，$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}=\phi$であるための必要十分条件は

$\boxed{\text{オカ}}\leqq m\leqq \boxed{\text{キ}}\text{かつ}\boxed{\text{ク}}<h$

である．ただし，$\phi$は空集合を表す．

【１】

(3)　$f(x)$を$x$の多項式とする．

で表す．このとき，次の文中の$\boxed{\text{ケ}}\text{，}$$\boxed{\text{コ}}$のそれぞれに入れるのに適当な語句を，下の$\overline{)\text{1}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つずつ選べ．

$\mathrm{Q}$は$\mathrm{P}$であるための$\boxed{\text{ケ}}$

$\mathrm{R}$は$\mathrm{P}$であるための$\boxed{\text{コ}}$

• $\overline{)\text{1}}$　必要条件であるが，十分条件ではない．
• $\overline{)\text{2}}$　十分条件であるが，必要条件ではない．
• $\overline{)\text{3}}$　必要十分条件である．
• $\overline{)\text{4}}$　必要条件でも十分条件でもない．

【２】　$xy$平面で，ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$とベクトル$\overrightarrow{u}\text{，}$$\overrightarrow{v}$の間に次の関係がある．

• $5\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{a}$
• $2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\overrightarrow{b}$

このとき

(ⅰ)　$\overrightarrow{u}\text{，}$$\overrightarrow{v}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$で表せば

• $\overrightarrow{u}=\boxed{\text{ア}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{イ}}\overrightarrow{b}$
• $\overrightarrow{v}=\boxed{\text{ウ}}\overrightarrow{a}+\boxed{\text{エ}}\overrightarrow{b}$

となる．

(ⅱ)　$\overrightarrow{a}=(2,-3)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(-1,2)$ならば

$\overrightarrow{u}=(\boxed{\text{オ}},\boxed{\text{カ}})\text{，}$$(\boxed{\text{キ}},\boxed{\text{クケ}})$

である．さらに，原点を$\mathrm{O}$とし，この$\overrightarrow{u}\text{，}$$\overrightarrow{v}$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{u}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{v}$となる点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$をとる．点$\mathrm{P}$を通り直線$\mathrm{OQ}$に垂直な直線の方程式は

$\boxed{\text{コ}}x-\boxed{\text{サ}}y=3$

である．この直線と，点$\mathrm{Q}$を通り直線$\mathrm{OP}$に垂直な直線との交点を$\mathrm{R}$とすれば

$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=(\boxed{\text{シ}},\boxed{\text{ス}})$

である．

【３】　鋭角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{AC}=6\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{D}$とする．$2$点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と$\mathrm{AB}$との交点をそれぞれ$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{G}$とし，点$\mathrm{D}$から辺$\mathrm{AC}$に下ろした垂線と$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{F}$とする．$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを$A$で表すとき

(ⅰ)　

$\mathrm{DE}=\boxed{\text{ア}}\sin A\text{，}$

$\mathrm{DF}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\sin A$

である．

(ⅱ)　とくに，$\mathrm{BE}=1$であるとき

$\mathrm{AG}=\boxed{\text{エ}}\text{，}$$\sin A={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{オカ}}}}{\boxed{\text{キ}}}}$

であり，三角形$\mathrm{DEF}$の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}\sqrt{\boxed{\text{コサ}}}}{\boxed{\text{シス}}}}$

である．

【４】　$k\text{，}p$を実数とし，$k\geqq 0$とする．二つの放物線

• $y=-x^2$
• $y={(x-\sqrt{k})}^2-p$

が異なる$2$点で交わるための必要十分条件は

$k<\boxed{\text{ア}}p$

である．

　このとき，二つの交点を結ぶ線分の長さの$2$乗$S$は，$0\leqq k<\boxed{\text{ア}}p$の範囲で

$S=-k^2+(\boxed{\text{イ}}p-\boxed{\text{ウ}})k+\boxed{\text{エ}}p$

であり，

• $p={\displaystyle \frac{2}{3}}$のとき，$S$は$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$で最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケコ}}}}$
• $p={\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，$S$は$k=\boxed{\text{サ}}$で最大値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$

をとる．

【５】　箱が四つあり，どの箱にも$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$の数字が一つずつ書いてあるカードが$4$枚入っている．ただし，どの箱にも同じ数字のカードはないものとする．おのおのの箱からカードを$1$枚ずつとり出すとき

(ⅰ)　$4$枚とも同じ数字のカードである確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}}$である．

(ⅱ)　$1$または,$2$のカードが含まれている確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エオ}}}{\boxed{\text{カキ}}}}$である．

(ⅲ)　同じ数字のカードが$2$枚ずつ$2$組ある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケコ}}}}$である．

　ただし，(ⅰ)の場合は$2$枚ずつ$2$組あるとは考えない．

(ⅳ)　$4$枚のカードの数字の合計が$7$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シス}}}}$である．