1983　北海道大学MathJax

【１】　空間の直線$x={\displaystyle \frac{y}{-1}}={\displaystyle \frac{z}{2}}$を$l\text{，}$直線${\displaystyle \frac{x}{3}}=y=z$を$m$とし，$2$直線$l\text{，}m$によって定まる平面を$\alpha$とする．

(1)　原点$\mathrm{O}$を通り，平面$\alpha$に含まれ，かつ直線$l$と直交する直線の方程式を求めよ．

(2)　原点$\mathrm{O}$を通り，平面$\alpha$に含まれ，かつ直線$l$とのなす角が${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$である直線の方程式を求めよ．

【２】　大小$2$個のさいころを同時に投げる試行を$\mathrm{T}$とする．$1$回の試行$\mathrm{T}$でさいころが$2$個とも偶数の目の出る事象を$\mathrm{A}$とする．

(1)　試行$\mathrm{T}$をくり返すとき，$n$回目にはじめて事象$\mathrm{A}$が起こる確率が$0.01$以下となる最小の$n$を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.301\text{，}{\log }_{10}3=0.477$として計算せよ．

(2)　試行$\mathrm{T}$をくり返すとき，$n$回目に事象$\mathrm{A}$が起これば$X_n=1\text{，}$事象$\mathrm{A}$が起こらなければ$X_n=-1$とし，$S=X_1+X_2+X_3+X_4$とする．このとき，$S<0$となる確率を求めよ．

【３】(1)　$t$が$t>1$の範囲を動くとき，関数$f(x)={\log }_{2}t+{\log }_{t}4$の最小値を求めよ．

(2)　$t>1$なるすべての$t$に対して，不等式

$k{\log }_{2}t<{({\log }_{2}t)}^2-{\log }_{2}t+2$

が成り立つような$k$の範囲を求めよ．

【４】　$4$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(1,1)\text{，}\mathrm{C}(0,1)$を頂点とする正方形が，放物線$y=1+2kx-3k^2{x}^2$によって面積の等しい$2$つの部分に分けられている．このとき，$k$の値を求めよ．

【１】　$0\leqq x\leqq 1$で定義された関数$f(x)=|2x-1|$について，次の問に答えよ．

(1)　$y=f(f(x))$のグラフをかけ．

(2)　$f(f(f(x)))=x$となる$x$の個数を求めよ．

【３】　$x$の方程式$x=\log x+\log n$について，次の問に答えよ．ただし，$n$は$n\geqq 3$なる自然数である．

(1)　上の方程式の解$x$で${\displaystyle \frac{1}{n}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{e}{n}}$なるものはただ$1$つ存在することを示せ．ここで，$e$は自然対数の底であり，その値は$2.718\cdots$であることが知られている．

(2)　$n$に対して(1)で定まる解を$x_n$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }n{x}_n$を求めよ．

【４】　$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\pi <x<{\displaystyle \frac{3}{2}}\pi$で定義された関数$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(x-t){\cos }^{3}tdt$について，次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$の極値をあたえる$x$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$の極値を求めよ．

【５】　大小$2$個のさいころを同時に投げる試行を$\mathrm{T}$とする．$1$回の試行$\mathrm{T}$でさいころが$2$個とも偶数の目の出る事象を$\mathrm{A}$とする．

(1)　試行$\mathrm{T}$をくり返すとき，$n$回目にはじめて事象$\mathrm{A}$が起こる確率が$0.01$以下となる最小の$n$を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.301\text{，}{\log }_{10}3=0.477$として計算せよ．

(2)　試行$\mathrm{T}$をくり返すとき，$n$回目に事象$\mathrm{A}$が起これば$X_n=1\text{，}$事象$\mathrm{A}$が起こらなければ$X_n=0$とし，$S=X_1+X_2+X_3+X_4$とする．このとき，$S$の期待値（平均値）$E(S)$を求めよ．

【３】　双曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$と，点$(a,a)$を中心とし点$(1,1)$を通る円とが点$(1,1)$のみを共有するような$a$の範囲を求めよ．ただし，$a\ne 1$とする．

【４】　空間の直線$x={\displaystyle \frac{y}{-1}}={\displaystyle \frac{z}{2}}$を$l\text{，}$直線${\displaystyle \frac{x}{3}}=y=z$を$m$とし，$2$直線$l\text{，}m$によって定まる平面を$\alpha$とする．

(1)　平面$\alpha$の方程式を求めよ．

(2)　原点$\mathrm{O}$を通り，平面$\alpha$に含まれ，かつ直線$l$と直交する直線の方程式を求めよ．

【５】　$2$次関数$f(x)=a{x}^2+bx+c$について，次の問に答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)　曲線$y=f(x)$が直線$y=x$に接し，かつ${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}}f(x)\sin xdx=0$を満たすための$a\text{，}b\text{，}c$の条件を求めよ．

(2)　(1)のとき${\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}}f(x)dx$が最小になるように$f(x)$を定めよ．