1983　室蘭工業大学MathJax

【１】(1)　$2$点$(1,0)\text{，}(1,1)$をそれぞれ$2$点

$({\displaystyle \frac{1}{4}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}})\text{，}({\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{4}},{\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{4}})$

へうつす$1$次変換を$f$とし，直線$y=x$に関する対称移動を$g$としたとき，$f$につづいて$g$を行う合成変換を表す行列$A$を求めよ．

(2)　(1)で求めた$A$について，点${\mathrm{P}}_n(x_n,y_n)$を次式で定義する．

$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{x}_{n-1}\\ y_{n-1}\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

ただし，${\mathrm{P}}_0$は$(1,0)$とする．

　$\mathrm{O}$を原点としたとき，${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}\overline{\mathrm{O}{\mathrm{P}}_n}$を求めよ．

【２】　空間において原点を$\mathrm{O}$とする．$\mathrm{O}$とは異なる点$\mathrm{A}(a,b,c)$を中心とする半径$1+{\displaystyle \frac{n}{m}}$の球面上に動点$\mathrm{P}$がある．ただし，$m\text{，}n$は正の数とする．

(1)　$\mathrm{OP}$を$m:n$に内分する点$\mathrm{Q}$はある球面上を動く．この球面の方程式を求めよ．

(2)　$\mathrm{OA}$に垂直で，かつ(1)で求めた球面に接する平面の方程式を求めよ．

【３】　半径，中心，円周上の$1$点をそれぞれ$e$（自然対数の底），$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}$とする円板が，時刻$t=0$のとき図のように$xy$平面上におかれている．いま，この円板が$\mathrm{O}$を中心に図の矢印方向に角速度$\theta$ラジアン／秒（$\theta >0$）で回転をはじめる．また，それと同時に点$\mathrm{P}$が点$(1,0)$から円板上を線分$\mathrm{OA}$にそって，$f^{\prime }(t)=f(t)$を満たしながら進み点$\mathrm{A}$に達した時点でそこに留まるものとする．ただし，$f(t)$は$t$秒後における点$\mathrm{P}$の原点からの距離である．

(1)　$t$秒後における点$\mathrm{P}$の位置$(x(t),y(t))$を求めよ．

(2)　円板が$1$回転する間に点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さ$l(\theta )$を求めよ．

【４】　$y=e^{-x}$と$y=ax+3\text{（}a<0\text{）}$のグラフが囲む図形の面積を最小にする$a$の値を求めよ．