1983　旭川医科大学MathJax

1983-10010-0101

1983　旭川医科大学

医学部（医学科）

易□　並□　難□

【１】　容器 $A$ がある． $A$ の内側は，平面曲線

$x^{2} - a^{2} y = 0 （ a > 0 ， 0 ≦ y ≦ 20 (cm) ）$

を， $y$ 軸のまわりに回転して得られる回転面から成っている．

(1)　 $A$ の容積は $800 π (cc)$ である．このとき， $a$ の値はいくらか．ただし $π$ は円周率である．

(2)　(1)において， $A$ に毎秒 $32 π (cc)$ の割合で水を注ぐとき，注ぎ始めてから $2$ 秒後における水面の上昇する速さを求めよ．

(3)　(2)において， $4$ 秒以後は毎秒 $64 π (cc)$ の割合で水を注ぐとき， $A$ が満水となる瞬間における水面の上昇する速さを求めよ．

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【２】　 $f (x)$ は次の関係を満たす関数である．

$f^{'} (x) = - f (x) f (- x) ， f (0) = \frac{1}{2}$

(1)　一般に関数 $g (x)$ について

$\int g^{'} (- x) d x = - g (- x) + C （ C は定数）$

が成り立つことを示せ．

(2)　 $f (x) + f (- x) = 1$ が成り立つことを示せ．

(3)　 $f (x)$ を求めよ．

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【３】(1)　確率変数 $X$ の確率密度関数 $f (x)$ が

$f (x) = a \sin x （ 0 ≦ x ≦ π ）$

で与えられるとき， $a$ の値および $X$ の平均値を求めよ．

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【３】(2)　ある種類のねずみは，生まれてから $3$ か月後の体重が平均 $65 g ，$ 標準偏差 $4.8 g$ の正規分布に従うという．いまこの種類のねずみ $10$ 匹を特別な飼料で飼育し， $3$ か月後に体重を測定したところ，次の結果を得た．この飼料はねずみの体重に異常な変化を与えたと考えられるか．有意水準 $5 %$ で検定せよ．

$67 ， 71 ， 63 ， 74 ， 68 ， 61 ， 64 ， 80 ， 71 ， 73$

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