1983　東京大学MathJax

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$が表す$1$次変換$f$が，次の条件(ⅰ)，(ⅱ)を満たすとする．

(ⅰ)　$f$は任意の$3$角形をそれと相似な$3$角形にうつす．

(ⅱ)　$f$は，点$(1,\sqrt{3})$を点$(-2,2\sqrt{3})$にうつす．

　このような行列$A$をすべて求めよ．

【２】　傾いた平面上で，もっとも急な方向の$\stackrel{\text{こうばい}}{\text{勾配}}$(傾き)が${\displaystyle \frac{1}{3}}$であるという．いま，南北方向の勾配を測ったところ${\displaystyle \frac{1}{5}}$であった．東西方向の勾配はどれだけか．

【３】　$xy$平面上で，曲線$C:y=x^3+a{x}^2+bx+c$上の点$\mathrm{P}$における接線$l$が，$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{Q}$で$C$と交わるとする．$l$と$C$で囲まれた部分の面積と，$\mathrm{Q}$における接線$m$と$C$で囲まれた部分の面積の比を求め，これが一定であることを示せ．

【４】　直線上に，赤と白の旗をもった何人かの人が，番号$0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$をつけて並んでいる．番号$0$の人は，赤と白の旗を等しい確率で無作為にあげるものとし，他の番号$j$の人は，番号$j-1$の人のあげた旗の色を見て，確率$p$で同じ色，確率$1-p$で異なる色の旗をあげるものとする．

　このとき，番号$0$の人と番号$n$の人が同じ色の旗をあげる確率$P_n$を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$において，$a_1=1$であり，$n\geqq 2$に対して$a_n$は，次の条件(ⅰ)，(ⅱ)をみたす自然数のうち最小のものであるという．

(ⅰ)　$a_n$は，$a_1\text{，}\cdots \text{，}{a}_{n-1}$のどの項とも異なる．

(ⅱ)　$a_1\text{，}\cdots \text{，}{a}_{n-1}$のうちから重複なくどのように項を取り出しても，それらの和が$a_n$に等しくなることはない．

　このとき，$a_n$を$n$で表し，その理由を述べよ．

【３】　$xy$平面上に点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$がある．また，この平面上の$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{A}$を通って直線$\mathrm{OA}$と垂直な空間直線$l$があり，平面とのなす角が$45°$である．このとき，円$C$と直線$l$の間の最短距離を，$2$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}$間の距離$a$で表せ．

【４】　$xy$平面上の$y\geqq x^2$で表される領域を$D$とする．$D$に含まれる$1$辺の長さ$t$の正方形で，各辺が座標軸と平行または$45°$をなすものをすべて考える．

　このとき，これらの正方形の中心の$y$座標の最小値を$t$の関数として表し，そのグラフをかけ．

【５】　正四角すい$V$に内接する球を$S$とする．$V$をいろいろ変えるとき，比$R={\displaystyle \frac{S\text{の表面積}}{V\text{の表面積}}}$のとりうる値のうち，最大のものを求めよ．

　ここで正四角すいとは，底面が正方形で，底面の中心と頂点を結ぶ直線が底面に垂直であるような角すいのこととする．

【６】　放物線$y={\displaystyle \frac{3}{4}}-x^2$を$y$軸のまわりに回転して得られる曲面$K$を，原点を通り回転軸と$45°$の角をなす平面$H$で切る．曲面$K$と平面$H$で囲まれた立体の体積を求めよ．