1984　共通一次試験　本試験MathJax

【１】

(1)　$0\leqq x\leqq 2\pi$で定義された関数

$f(x)={\cos }^{2}x-\sqrt{5}\sin x-3$

は$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\pi$のとき最大値$\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}-\boxed{\text{エ}}$をとる．

【１】

(2)　次の(ⅰ)〜(ⅳ)において，$\boxed{\text{オ}}\text{〜}\boxed{\text{ク}}$に適する等号または不等号を選び，それが

• $=$のときは記号$\overline{)\text{0}}$を
• $>$のときは記号$\overline{)\text{1}}$を
• $<$のときは記号$\overline{)\text{2}}$を

解答欄にマークせよ．

• (ⅰ)　${(\sqrt{2})}^2\boxed{\text{オ}}{\log }_{\sqrt{2}}2$
• (ⅱ)　${(\sqrt{2})}^4\boxed{\text{カ}}{\log }_{\sqrt{2}}4$
• (ⅲ)　${(\sqrt{2})}^8\boxed{\text{キ}}{\log }_{\sqrt{2}}8$
• (ⅳ)　${(\sqrt{2})}^{\sqrt{8}}\boxed{\text{ク}}{\log }_{\sqrt{2}}\sqrt{8}$

【１】

(3)　自然数$k\text{，}$$m$が

$2+{\displaystyle \frac{1}{k+{\displaystyle \frac{1}{m+{\displaystyle \frac{1}{5}}}}}}={\displaystyle \frac{803}{371}}$

を満たせば

$k=\boxed{\text{ケ}}\text{，}$$m=\boxed{\text{コサ}}$

である．

【２】　$xy$平面内の放物線$y=x^2+x+1$上にある点$(x,y)$で，条件

$y\leqq -x^2+3x+m$

を満たすものの集合を$\mathrm{A}$とする．ただし，$m$は実数を表す．

(ⅰ)　$\mathrm{A}$が空集合でないための必要十分条件は

$m\geqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$

であり，そのとき$\mathrm{A}$の点の$x$座標のとり得る値の範囲は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}-\sqrt{\boxed{\text{エ}}m-\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}$$\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}+\sqrt{\boxed{\text{エ}}m-\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}$

である．

(ⅱ)　$m\geqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$のとき，$\mathrm{A}$の点の$y$座標の最小値は${\displaystyle \frac{3}{4}}$である．

　また，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}>m\geqq \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$

のときは，$\mathrm{A}$の点の$y$座標の最小値は

${\displaystyle \frac{m+\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}-\sqrt{\boxed{\text{サ}}m-\boxed{\text{シ}}}$

である．

【３】　一直線上にない$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$がある．実数$a$に対して，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$をそれぞれ

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=a\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1-a)\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

となる点とする．直線$\mathrm{PQ}$上に点$\mathrm{T}$をとり，

$\overrightarrow{\mathrm{PT}}=t\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$

とする．

(ⅰ)　$t$と$a$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OT}}$を表せば

$\overrightarrow{\mathrm{OT}}=a(\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}})\overrightarrow{\mathrm{OA}}$$+\boxed{\text{ウ}}(\boxed{\text{エ}}-\boxed{\text{オ}})\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

である．

(ⅱ)　特に，$\mathrm{T}$が直線$\mathrm{AB}$上にあるとき

$a(\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}})$$+\boxed{\text{ウ}}(\boxed{\text{エ}}-\boxed{\text{オ}})=\boxed{\text{カ}}$

が成り立ち，$t$を$a$で表せば

$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}-\boxed{\text{ク}}}{1-\boxed{\text{ケコ}}}}$

である．

　さらに，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$のとき，$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{PT}$の中点である．

　$a=\boxed{\text{スセ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{ソ}}}$のとき，$\mathrm{B}$は線分$\mathrm{AT}$の中点である．

【４】　円に内接する四辺形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{AB}=1\text{，}$$\mathrm{BC}=2\text{，}\mathrm{CD}=3\text{，}$$\mathrm{DA}=4$とする．

　このとき，

(ⅰ)　$\mathrm{AC}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}}$，

(ⅱ)　$\sin \angle \mathrm{ABC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}$，

(ⅲ)　$\sin \angle \mathrm{ACB}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}}}{\sqrt{\boxed{\text{ケコサ}}}}}$，

(ⅳ)　四辺形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$

である．

【５】　下の図１，図２のように，いくつかの，同じ長さの有向線分とその端点$\text{（}\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}\cdots$）からできている図がある．

　点$\mathrm{Q}$は$\mathrm{A}$から出発して，次の約束のもとに矢印の向きに沿って移動するものとする．

　$\mathrm{Q}$がどれかの端点にあるとき，

• (ⅰ)　その点を始点とする有向線分があれば必ず移動するものとし，どの有向線分を選んで移動するかの確率が定まっている．たとえば$\mathrm{B}$で有向線分$\mathrm{BC}$を選んで$\mathrm{C}$へ移動する確率が${\displaystyle \frac{1}{2}}$であれば$P(\mathrm{B}\to \mathrm{C})={\displaystyle \frac{1}{2}}$のように表す．
• (ⅱ)　その点を始点とする有向線分がなければ，その点で停止する．

(1)　$\mathrm{Q}$が図１上を動くものとし，

$P(\mathrm{B}\to \mathrm{C})=P(\mathrm{F}\to \mathrm{J})={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$P(\mathrm{G}\to \mathrm{H})={\displaystyle \frac{1}{3}}$

とする．

　さらに，$P(\mathrm{F}\to \mathrm{C})$と$P(\mathrm{C}\to \mathrm{D})$は等しいものとし，その値を$p$とおく．

　$p={\displaystyle \frac{1}{3}}$とすると，

$P(\mathrm{F}\to \mathrm{G})={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$

であり，$\mathrm{Q}$が$\mathrm{A}$から$\mathrm{E}$に達する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エオ}}}}$である．

　また，$p={\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$とすると，$\mathrm{Q}$が$\mathrm{A}$から$\mathrm{E}$に達する確率は${\displaystyle \frac{5}{24}}$である．

(2)　$\mathrm{Q}$が図２上を動くものとし，

$P(\mathrm{B}\to \mathrm{C})={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$P(\mathrm{C}\to \mathrm{D})={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}$$\mathrm{P}(\mathrm{F}\to \mathrm{G})={\displaystyle \frac{1}{2}}$

とする．

　さらに，$\mathrm{Q}$が$1$秒ごとに一つの有向線分を動くものとする．

　このとき，$\mathrm{Q}$が$\mathrm{A}$から出発して$7$秒以内に$\mathrm{D}$に達する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}}{\boxed{\text{コサ}}}}$である．