1984　北海道大学MathJax

【１】　$m$を$2$より大きい実数とする．$x$の$2$つの方程式

$x^2-2^{m+1}x+3\times 2^m=0\cdots \text{①}$

$2{\log }_{2}x-{\log }_2(x-1)=m\cdots \text{②}$

について，次の問に答えよ．

(1)　方程式$\text{①}\text{，}\text{②}$のそれぞれは，$2$つの異なる実数解をもつことを示せ．

(2)　方程式$\text{①}$の解のうち，ちょうど$1$つだけが方程式$\text{①}$の$2$つの解の間にあることを示せ．

【２】　$f$を行列$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$で表される$1$次変換とする．

(1)　変換$f$が第$1$象限，すなわち集合$\{(x,y)|x>0,y>0\}\text{，}$の任意の点を第$1$象限の点にうつすならば，$a\geqq 0\text{，}b\geqq 0\text{，}c\geqq 0\text{，}d\geqq 0$であることを示せ．

(2)　$ad-bc\ne 0$であり，かつ変換$f$とその逆変換$f^{-1}$がともに第$1$象限の任意の点を第$1$象限の点にうつすための$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$に関する条件を求めよ．

【３】　$3$辺の長さがいずれも$70$より小さい整数で，かつ等差数列になっている$3$角形は何個あるか．ただし，合同な$3$角形は区別しないものとする．

【４】　$2$つの放物線$y=1-x^2\text{，}y=a-b{x}^2$のそれぞれが$x$軸と囲む部分の面積は等しいとする．ただし，$a>0\text{，}b>0$とする．

(1)　$b$を$a$の式で表せ．

(2)　これら$2$つの放物線に同時に接し傾きが負である直線と$y$軸との交点は，$a\to 1$のときどのような点に近づくか．

【２】　空間に$4$点$\mathrm{A}(1,2,2)\text{，}\mathrm{B}(0,0,-1)\text{，}\mathrm{C}(2,2,3)\text{，}\mathrm{D}(0,1,-2)$をとる．実数$t$に対して，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=t\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{BD}}$によって定め，線分$\mathrm{PQ}$の中点を通りこの線分に垂直な平面を$\alpha$とする．

(1)　平面$\alpha$の方程式を求めよ．

(2)　$t$の値を変えて平面$\alpha$を動かすとき，平面$\alpha$は$t$によらない一定の直線を含むことを示せ．

【３】　$a$を実数とする．$b={\displaystyle \frac{|a+1|-|a-1|}{2}}$として

$c_1=1\text{，}{c}_n={\displaystyle \frac{1+b+b^2+\cdots +b^{n-1}}{n}}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．数列$\left\{c_n\right\}$の極限値を求めよ．

【４】　曲線$y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\sin x$と$x$軸上に中心をもつ円$C$が，点$\mathrm{A}(a,{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\sin a)$において同一の直線に接しているものとする．ただし，$0<a<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(1)　円$C$の中心の$x$座標を$a$で表せ．

(2)　曲線$y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\sin x$は，点$\mathrm{A}$を除いては円$C$の外にあることを示せ．

【５】　点$\mathrm{P}$が曲線$y={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}$の上を運動している．その速さはつねに毎秒$1$であり，速度ベクトルの$x$成分はつねに正である．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　点$\mathrm{P}$が点$(0,1)$を通過してから$t$秒後の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$で表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$におけるこの曲線の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$が点$(0,1)$を通過してから$2$秒後の点$\mathrm{Q}$の速さを求めよ．

【３】　曲線$y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\sin x$と$x$軸上に中心をもつ円$C$が，点$\mathrm{A}(a,{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\sin a)$において同一の直線に接しているものとする．ただし，$0<a<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(1)　円$C$の中心の$x$座標を$a$で表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が曲線$y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\sin x$の上を動くとき，点$\mathrm{P}$と円$C$の中心との距離の$2$乗の最小値を$a$で表せ．

【４】　数列$\left\{x_n\right\}$は次の関係式

$x_1=a+1\text{，}{x}_n=a+1-{\displaystyle \frac{a}{x_{n-1}}}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすものとする．ただし，$a>1$とする．

(1)　$x_2\text{，}{x}_3$を求めて，一般項$x_n$を類推し，その結果が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ．

(2)　数列$\{x_n\}$の極限値を求めよ．

【５】　$2$つの微分可能な関数$f(x)\text{，}g(x)$は$f(0)=g(0)=0$を満たし，かつ$x\geqq 0$において

$(x+2)f^{\prime }(x)=(3x+4)g^{\prime }(x)\text{，}{g}^{\prime }(x)>0$

を満たしているとする．

(1)　$x>0$のとき，$f(x)>g(x)$が成り立つことを示せ．

(2)　さらに，任意の正の数$t$に対して，直線$x=t$と$2$曲線$y=f(x)\text{，}g(x)$とで囲まれた部分の面積は$t^2$に等しいとする．$x\geqq 0$で$f(x)\text{，}g(x)$を求めよ．