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1984 室蘭工業大学

易□ 並□ 難□

【1】  E=( 1 00 1 ) W=( -1 1 -10 ) とする.

(1) 行列 A =aE +bW a b は実数)が零行列でないとき,逆行列 A -1 が存在し, A-1 =p E+q W p q は実数)の形に表されることを示せ.

(2) (1)における a b p q について

(a 2-a b+b2 ) (p2 -pq +q2 )=1

が成り立つことを示せ.

(3) 行列 A は整数 a b によって A =aE +bW と表され,その逆行列もまた整数 p q によって A-1 =p E+q W と表されるとする.このような A をすべて求めよ.

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【2】 空間の直線 l 1 の方程式を x -33 = y-2 8= z +5- 5 とする. l1 を含み x y 平面に垂直な平面と x y 平面との交わりを l 2 とする. l2 上の点 ( x,y, 0) 1 次変換 ( x y )= ( 10 -3 1) ( xy ) によって直線 l 3 上の点 (x ,y , 0) にうつされる.

(1)  l3 の方程式を求めよ.

(2)  l1 l 3 は同一平面上にあることを示し,この平面の方程式を a x+b y+c z+d =0 の形で求めよ.

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【3】  fn (x )= ex- (1+ x 1! + x2 2! ++ x n-1 ( n-1 )! ) n=1 2 3 とする.

(1)  fn+ 1 (x) =fn (x ) を示せ.

(2)  x0 のとき

0f n( x) ex xnn ! n= 1 2 3

が成り立つことを数学的帰納法で証明せよ.

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【4】  f ( 2)= 1 を満たすすべての 2 次関数 f (x ) について 2- π2+ πf (x )sin ( x2- 1) dx は一定であることを示し,その値を求めよ.

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