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1984-10007-0101
1984 室蘭工業大学
易□ 並□ 難□
【1】 E=( 1 00 1 ), W=( -1 1 -10 ) とする.
(1) 行列 A =a⁢E +b⁢W ( a , b は実数)が零行列でないとき,逆行列 A -1 が存在し, A-1 =p⁢ E+q⁢ W( p , q は実数)の形に表されることを示せ.
(2) (1)における a , b ,p , q について
(a 2-a⁢ b+b2 )⁢ (p2 -p⁢q +q2 )=1
が成り立つことを示せ.
(3) 行列 A は整数 a , b によって A =a⁢E +b⁢W と表され,その逆行列もまた整数 p , q によって A-1 =p⁢ E+q⁢ W と表されるとする.このような A をすべて求めよ.
1984-10007-0102
【2】 空間の直線 l 1 の方程式を x -33 = y-2 8= z +5- 5 とする. l1 を含み x y 平面に垂直な平面と x y 平面との交わりを l 2 とする. l2 上の点 ( x,y, 0) は 1 次変換 ( x′ y′ )= ( 10 -3 1) ⁢( xy ) によって直線 l 3 上の点 (x′ ,y′ , 0) にうつされる.
(1) l3 の方程式を求めよ.
(2) l1 と l 3 は同一平面上にあることを示し,この平面の方程式を a ⁢x+b ⁢y+c ⁢z+d =0 の形で求めよ.
1984-10007-0103
【3】 fn ⁡(x )= ex- (1+ x 1! + x2 2! +⋯+ x n-1 ( n-1 )! ) ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) とする.
(1) fn+ 1′⁡ (x) =fn ⁡(x ) を示せ.
(2) x≧0 のとき
0≦f n⁡( x)≦ ex⁢ xnn ! ( n= 1 ,2 , 3 ,⋯ )
が成り立つことを数学的帰納法で証明せよ.
1984-10007-0104
【4】 f′ ( 2)= 1 を満たすすべての 2 次関数 f ⁡(x ) について ∫2- π2+ πf ⁡(x )⁢sin ⁡( x2- 1)⁢ dx は一定であることを示し,その値を求めよ.