1984　旭川医科大学MathJax

【１】　曲線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^x+e^{-x})$の上の点$\mathrm{P}(x,y)$における接線$\mathrm{PT}$と，法線$\mathrm{PN}$（$\mathrm{PT}$に垂直な直線）とが，$x$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{T}\text{，}\mathrm{N}$とする．ただし$x>0$とする．このとき次の問に答えよ．

(1)　$▵\mathrm{PTN}$の面積は，${\displaystyle \frac{y^4}{2y^{\prime }}}$に等しいことを示せ．

(2)　点$\mathrm{P}(x,y)$が曲線上を動くとき，$▵\mathrm{PTN}$の面積が最小となる点$\mathrm{P}$の座標と最小値を求めよ．

【２】　$a$を$0<a<\log 2$なる定数とし，$x$の関数$f_n(x)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を次のように定義する．

$f_1(x)={(\log x)}^2+2\log x\text{，}$

$f_n(x)={\log x)}^2+2\log x+{\displaystyle {\int }_1^{e^x}}{f}_{n-1}(x)dx$

いま，$C_n={\displaystyle {\int }_1^{e^x}}{f}_n(x)dx\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき，次の各問に答えよ．

(1)　$C_1={\displaystyle {\int }_1^{e^x}}\{{(\log x)}^2+2\log x\}dx$を計算せよ．

(2)　数列$\{C_n\}$は収束することを示し，かつその極限値を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=f(x)$とおくとき，${\displaystyle {\int }_1^{e^x}}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }{C}_n$を示せ．

【３】　次の各問に答えよ．

(1)　箱の中に$1$から$n$までの数字が$1$つずつ記入された玉が，$n$個入っている．この箱より同時に何個かの玉を取り出すことにする．取り出し方は全部で何通りあるか．ただし何も取り出さない場合も，$1$通りの取り出し方として考えるものとする．

(2)　(1)において，$n=4$とし，任意に取り出された玉の数字の和を$X$とする．ただし何も取り出さない場合は，$X=0$とする．このとき$X$の確率分布，期待値，標準偏差を求めよ．

(3)　ある原野には，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$種の野ねずみが生息しているという．任意に$300$匹の野ねずみをとらえたところ，$\mathrm{A}$種が$90$匹いた．$\mathrm{A}$種の野ねずみは，この原野全体で何%生息していると考えられるか．信頼度$95$%で推定せよ．