1984　東京大学MathJax

【１】　$t$を実数の定数として，関数$f(x)=(x^2-3x+2)(x-t)$を考える．いま$f^{\prime }(x)=0$の$2$個の解を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$と書くことにすれば，これらは$t$の関数とみなすことができる．

　$t$の関数$|t-\alpha |+|t-\beta |$の$1\leqq t\leqq 3$の範囲における最大値および最小値を求めよ．

【２】　$xy$平面上に，海を隔てて$2$国$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$がある．$\mathrm{A}$の領土は不等式$x^2+{(y-7)}^2\leqq 4$で表される領域であり，$\mathrm{B}$の領土は不等式$y\leqq 0$で表される領域であるという．

　いま$\mathrm{A}$の領海を次の3条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)をみたす点$\mathrm{P}$全体の集合と定める．

(ⅰ)　$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$いずれの領土にも含まれない．

(ⅱ)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{A}$の領土との間の最短距離は$4$より小さい．

(ⅲ)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{A}$の領土との間の最短距離は，$\mathrm{P}$と$\mathrm{B}$の領土との間の最短距離より小さい．

　$\mathrm{A}$の領海の面積を求めよ．

【３】　空間内の点の集合$\{(x,y,z)|0\leqq y,0\leqq z\}$に含まれ，原点$\mathrm{O}$において$x$軸に接し，$xy$平面と$45°$の傾きをなす，半径$1$の円板$C$がある．座標が$(0,0,2\sqrt{2})$の位置にある点光源$\mathrm{P}$により，$xy$平面上に投ぜられた円板$C$の影を$S$とする．

(1)　$S$の輪郭を表す$xy$平面上の曲線の方程式を求めよ．

(2)　円板$C$と影$S$の間にはさまれ，光の届かない部分のつくる立体の体積を求めよ．

【４】　各世代ごとに，各個体が，他の個体とは独立に，確率$p$で$1$個，確率$1-p$で$2$個の新しい個体を次の世代に残し，それ自身は消滅する細胞がある．

　いま，第$0$世代に$1$個であった細胞が，第$n$世代に$m$個となる確率を，$P_n(m)$と書くことにしよう．$n$を自然数とするとき，$P_n(1)\text{，}{P}_n(2)\text{，}{P}_n(3)$を求めよ．

【２】　$xy$平面において，直線$x=0$を$L$とし，曲線$y=\log x$を$C$とする．さらに，$L$上，または$C$上，または$L$と$C$との間にはさまれた部分にある点全体の集合を$A$とする．$A$に含まれ，直線$L$に接し，かつ曲線$C$と点$(t,\log t)\text{（}0<t\text{）}$において共通の接線をもつ円の中心を${\mathrm{P}}_t$とする．

　${\mathrm{P}}_t$の$x$座標，$y$座標を$t$の関数として

$x=f(t)\text{，}y=g(t)$

と表したとき，次の極限値はどのような数となるか．

(1)　$\underset{t\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(t)}{g(t)}}$

(2)　$\underset{t\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{f(t)}{g(t)}}$

【３】　$2$以上の自然数$k$に対して$f_k(x)=x^k-kx+k-1$とおく．このとき，次のことを証明せよ．

(1)　$n$次多項式$g(x)$が${(x-1)}^2$で割り切れるためには，$g(x)$が定数$a_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$を用いて$g(x)={\displaystyle \sum _{k=2}^n}{a}_k{f}_k(x)$の形に表されることが必要十分である．

(2)　$n$次多項式$g(x)$が${(x-1)}^3$で割り切れるためには，$g(x)$が関係式${\displaystyle \sum _{k=2}^n}{\displaystyle \frac{k(k-1)}{2}}{a}_k=0$をみたす定数$a_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$を用いて$g(x)={\displaystyle \sum _{k=2}^n}{a}_k{f}_k(x)$の形に表されることが必要十分である．

【４】　空間内に，$3$点

$\mathrm{P}(1,{\displaystyle \frac{1}{2}},0)\text{，}\mathrm{Q}(1,-{\displaystyle \frac{1}{2}},0)\text{，}\mathrm{R}({\displaystyle \frac{1}{4}},0,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}})$

を頂点とする正$3$角形の板$S$がある．$S$を$z$軸のまわりに$1$回転させたとき，$S$が通過する点全体のつくる立体の体積を求めよ．

【６】　$xy$平面において，不等式$x^2\leqq y$の表す領域を$D$とし，不等式${(x-4)}^2\leqq y$の表す領域を$E$とする．このとき，次の条件(＊)を満たす点$\mathrm{P}(a,b)$の全体の集合を求め，これを図示せよ．