1985　共通一次試験　追試験MathJax

【１】　二つの直線

• $y=2x+a\text{（}a>0\text{）}\cdots \text{①}$
• $y=bx+5\sqrt{5}\cdots \text{②}$

は点$\mathrm{P}$で交わるものとする．さらに$\text{①}$および$\text{②}$は円

$x^2+y^2=25$

の接線であり，その接点はそれぞれ点$\mathrm{A}$および点$\mathrm{B}$であるものとする．このとき，

• $a=\boxed{\text{ア}}\sqrt{\boxed{\text{イウ}}}$
• $b=\boxed{\text{エオ}}$

であり，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の座標はそれぞれ

• $\mathrm{P}(\boxed{\text{カ}},\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{クケ}}})$
• $\mathrm{A}(\boxed{\text{コサ}}\sqrt{\boxed{\text{シ}}},\sqrt{\boxed{\text{スセ}}})$
• $\mathrm{B}(\boxed{\text{ソタ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}},\sqrt{\boxed{\text{ツテ}}})$

である．

【２】

(1)　$xy$平面において，定点$(-2,3)$と点$(s,7)$を通る直線の方程式は

$\boxed{\text{アイ}}x+(s+\boxed{\text{ウ}})y=\boxed{\text{エ}}s+\boxed{\text{オカ}}$

である．

　$s\ne -\boxed{\text{キ}}$のとき，この直線は直線$x=-5$と交わり，交点の$y$座標は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}s-\boxed{\text{ケ}}}{s+\boxed{\text{キ}}}}$

である．

【２】

(2)　$x$の関数

$y={\displaystyle \frac{-2x-6}{x-3}}\cdots \text{①}$

のグラフは，双曲線

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コサシ}}}{x}}$

を$x$軸方向に$\boxed{\text{スセ}}\text{，}y$軸方向に$\boxed{\text{ソタ}}$だけ平行移動したものである．

　また，上の関数$\text{①}$のグラフが直線$y=kx$と交わらないような$k$の範囲は，

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}-\boxed{\text{ツ}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}<k}$${\displaystyle <\frac{\boxed{\text{チ}}+\boxed{\text{ツ}}\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}}$

である．

【３】　四角形$\mathrm{ABCD}$において辺$\mathrm{BC}$と辺$\mathrm{DA}$は平行であるとする．

(ⅰ)　$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=9\text{，}$$\mathrm{CA}=s$とすると，

$\cos \angle \mathrm{ACB}={\displaystyle \frac{s^2+\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウエ}}s}}$

である．

(ⅱ)　さらに$\mathrm{CD}=7\text{，}$$\mathrm{DA}=5$ならば，

$s=\boxed{\text{オカ}}\sqrt{\boxed{\text{キク}}}$

である．このとき，$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{H}$とすると，

$\mathrm{AH}=\boxed{\text{ケコ}}\sqrt{\boxed{\text{サ}}}$

であり，また

四角形$\mathrm{ABCD}\text{の面積}=\boxed{\text{シス}}\sqrt{\boxed{\text{セ}}}$

である．

【４】　放物線$y=a{x}^2+bx+c$$\text{（}a\text{，}$$b\text{，}$$c$は定数）を考える．これを平行移動して放物線$y=a^{\prime }{x}^2+b^{\prime }x+c^{\prime }$を作ると，もとの係数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$のうち，新しい係数$a^{\prime }\text{，}$$b^{\prime }\text{，}$$c^{\prime }$のどれかと必ず一致するのは$\boxed{\text{ア}}$である．

　もとの放物線上に$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(2,2)\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=(-1,7)$ならば，$a=\boxed{\text{イウ}}$である．そして点$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とすると，

$b=\boxed{\text{エオ}}p+\boxed{\text{カ}}$

である．

　また，この放物線の頂点を$\mathrm{T}$とすれば，

• $\overrightarrow{\mathrm{PT}}={\displaystyle (\frac{\boxed{\text{キク}}}{\boxed{\text{ケ}}},\frac{\boxed{\text{コサ}}}{\boxed{\text{シ}}})}$
• $\overrightarrow{\mathrm{QR}}=(\boxed{\text{スセ}},\boxed{\text{ソタ}})$
• $\overrightarrow{\mathrm{QT}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チツテ}}}{\boxed{\text{トナ}}}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}+\frac{\boxed{\text{ニヌ}}}{\boxed{\text{ネノ}}}\overrightarrow{\mathrm{PR}}}$

である．

【５】　$f(x)=-4x(x+2)\text{，}$$h(x)=-x^2+4x-36$とする．二つの放物線$y=f(x)\text{，}$$y=h(x)$は$2$点で交わり，これらの交点の$x$座標$x_1\text{，}$$x_2$$\text{（}{x}_1<x_2\text{）}$は

$x_1=\boxed{\text{アイ}}\text{，}$$x_2=\boxed{\text{ウエ}}$

である．

　曲線$y=f(x)$の点$(p,f(p))$における接線の方程式，および曲線$y=h(x)$の点$(q,h(q))$における接線の方程式は，それぞれ

• $y=-8(p+\boxed{\text{オカ}})x+\boxed{\text{キク}}{p}^2$
• $y=-2(q-\boxed{\text{ケコ}})x+q^2-\boxed{\text{サシ}}$

である．

　上の二つの接線が一致し，かつ$p\geqq 0$であるとする．このとき

$p=\boxed{\text{ス}}\text{，}$$q=\boxed{\text{セソ}}$

であり，一致した接線$l$の方程式は

$y=\boxed{\text{タチ}}x+\boxed{\text{ ツ }}$

である．

　接線$l$および二つの放物線$y=f(x)\text{，}$$y=h(x)$によって囲まれる図形のうち，$x\geqq 2$である部分の面積は

${\displaystyle {\int }_2^{\boxed{\text{テト}}}}(x^2-12x+36)dx={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナニ}}}{\boxed{\text{ヌネ}}}}$

である．

【６】　赤$1$個白$1$個合わせて$2$個のさいころを同時に振って出た目により，次の(1)〜(3)のように得点を得るゲームがある．

• (1)　赤いさいころに出た目が$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$のいずれかであれば，白いさいころに出た目が何であっても$0$点を得る．
• (2)　赤いさいころに出た目が$5$のときは，白いさいころに出た目の数だけの得点を得る．
• (3)　赤いさいころに出た目が$6$のときは，白いさいころに出た目の数の$2$倍だけの得点を得る．

　このとき，

(ⅰ)　$1$回ゲームを行なったときの得点の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$である．

(ⅱ)　$1$回ゲームを行なったとき，得点が奇数である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エオ}}}{\boxed{\text{カキ}}}}$である．

(ⅲ)　$3$回ゲームを行なって得点の合計が$0$点になる確率および$2$点になる確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}}{\boxed{\text{コサ}}}}\text{，}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{シス}}}{\boxed{\text{セソタ}}}}$である．