1985　北海道大学MathJax

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$が$A^2+A=-E$を満たすとする．このとき，$2$次方程式$x^2-(a+d)x+ad-bc=0$の解の$3$乗は$1$となることを示せ．ただし，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は実数とし，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．

【２】　空間に$3$点$\mathrm{A}(1,-1,1)\text{，}\mathrm{B}(1,1,1)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)$がある．直線${\displaystyle \frac{x-2}{a}}={\displaystyle \frac{y-3}{b}}=z-2$が三角形$\mathrm{ABC}$と共有点をもつための$a\text{，}b$の条件を求めよ．また，その条件を満たす点$(a,b)$の存在する範囲を図示せよ．ただし，三角形$\mathrm{ABC}$は周およびその内部を含むものとする．

【３】　数列$x_0\text{，}{x}_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_n\text{，}\cdots$は$\sin 3x_{n+1}=\sin x_n\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を満たすとし，$a_n=\sin x_n\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$とおく．

(1)　$a_n$と$a_{n+1}$の間の関係式を求めよ．

(2)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{3}^{k-1}{a_k}^3\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおく．すべての自然数$n$に対して，$S_n={\displaystyle \frac{3^n}{4}}{a}_n-{\displaystyle \frac{1}{4}}{a}_0$が成り立つことを数学的帰納法で示せ．

【４】　直線$y=x$を$l\text{，}$放物線$y=x^2+1$を$C$とする．

(1)　$l$上の任意の点$\mathrm{P}$から$C$に$2$本の接線が引けることを示せ．

(2)　(1)の$2$本の接線と$C$で囲まれる部分の面積を$S\text{，}$接点の$x$座標を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とする．$\mathrm{P}$が$l$上を動くとき，${\displaystyle \frac{S}{\beta -\alpha }}$の最小値を求めよ．

【３】　曲線$y=x\sqrt{4x-x^2}$を$C$とする．

(1)　$C$上の点と点$(3,0)$との距離の最大値を求めよ．

(2)　$C$を$x$軸の方向に$-2$だけ平行移動して得られる曲線の方程式を求めよ．

(3)　$C$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

【４】　数列$a_0\text{，}{a}_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n\text{，}\cdots$は

$4{a_{n+1}}^3+3a_{n+1}-a_n=0\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとし，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{3}^{k-1}{a_k}^3\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおく．ただし，$a_0\ne 0$とする．

(1)　すべての自然数$n$に対して，$S_n=-{\displaystyle \frac{3^n}{4}}{a}_n+{\displaystyle \frac{1}{4}}{a}_0$が成り立つことを数学的帰納法で示せ．

(2)　$f(x)={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}$（$e$は自然対数の底）とし，数列$x_0\text{，}{x}_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_n\text{，}\cdots$は$a_n=f(x_n)$を満たすとする．$x_n$を$x_0$で表せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を$x_0$で表せ．

【５】　微分可能な関数$y=f(x)$が方程式

${\{f(x)\}}^3+f(x)-{\displaystyle {\int }_0^x}t{e}^t{\{f(t)\}}^{2}dt-2=0$

を満たしているとする．ただし，つねに$f(x)\ne 0$とする．

(1)　$f(x)$の極値を求めよ．

(2)　$f(x)$を求めよ．

【５】　微分可能な関数$y=f(x)$が方程式

${\{f(x)\}}^3+f(x)-{\displaystyle {\int }_0^x}{\{f(t)\}}^{2}dt-2=0$

を満たしているとする．ただし，つねに$f(x)\ne 0$とする．

(1)　$f(0)$を求めよ．

(2)　$f(x)$を求めよ．