1985　室蘭工業大学MathJax

【１】　平面上で中心$(1,0)\text{，}$半径$a$の円を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(x,y)$に対して行列$A\text{，}B$を$A=\left(\begin{array}{cc}x& y+2\\ y-2& 2-x\end{array}\right)\text{，}B=A^2-2A$と定める．

(1)　行列$B$は単位行列$E$の実数倍$kE$と表されることを示し，$k$を$a$で表せ．

(2)　円$C$上のすべての点$\mathrm{P}$に対して行列$A^4$が一定の行列となるように$C$の半径$a$の値を定めよ．

【２】　どの$3$点も同一直線上にない空間の$4$点を$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とする．

(1)　ベクトルの長さの間に

${\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|}^2={\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|}^2$

の関係があるとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であることを証明せよ．

(2)　(1)の関係が成り立ち，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角を$60\mathrm{°}\text{，}\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=3\text{，}\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=2\text{，}\left|\overrightarrow{\mathrm{BC}}\right|=\sqrt{5}$とし，直線$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{D}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$が垂直となるようにとる．そのとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$のなす角を$\theta$として，$\cos \theta$の値を求めよ．

【３】　$f(x)=x^2+x-2$とする．$2$曲線

$y=f(x)f(x+1)\text{，}y=2(x+1)f(x)$

で囲まれる部分の面積を求めよ．

【４】　数列$\{x_n\}$は不等式

$\{\begin{array}{l}4x_{n+1}-3x_n<2\\ 2x_{n+1}-x_n>2\end{array}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす．

(1)　$x_{n+1}-2<{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^n(x_1-2)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

を示せ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$を求めよ．

【５】　関数$f(x)$はすべての実数に対して定義され最小値$4$をもつ．曲線$y=f(x)$上の任意の点$(x,f(x))$における接線は点$(x+1,x+1)$を通る．

(1)　$g(x)=f(x)-x$とおくとき，$g^{\prime }(x)+g(x)=0$であることを示せ．

(2)　$f(x)$を求めよ．