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1985 東京大学
文科
【1】 a, b は a2 +b2 ≠0 なる実数とし,
A= 1a2 +b2 ⁢ ( a2 a⁢b a⁢b b2 ) ,I= (1 0 01 )
とおく.行列 A3 , (I- A)2 の表す一次変換による P (x, y) の像を,それぞれ Q ,R とする.ただし, Q ,R はいずれも P と一致しないものとする.
(1) ∠QPR の大きさを求めよ.
(2) ▵PQR の面積を a ,b ,x ,y を用いて表せ.
【2】 図において, ABCD は 1 辺の長さが 1km の正方形で, M ,N はそれぞれ辺 CD ,DA の中点である.
いま,甲,乙は同時にそれぞれ A ,B を出発し,同じ一定の速さで歩くものとする.甲は図の実線で示した道 AMB 上を進み,乙は実線で示した道 BNC 上を進み, 30 分後に甲は B に,乙は C に到着した.
甲,乙が最も近づいたのは出発後何分後か.また,そのときの両者の間の距離はいくらか.
理科【3】の類題
【3】 n を 2 以上の整数とする. xn+ a⁢x+ b ( a ,b は実数の定数)の形の多項式 f⁡ (x) で
∫ -10 ⁡f⁡(x )⁢dx= 0, ∫ -11 ⁡f⁡ (x)⁢ dx=0
を満たすものを考える.この f⁡ (x) に対して
F⁡(x )= ∫- 1x ⁡f⁢ (t)⁢ dt ,G⁡ (x)= ∫ -1x ⁡F ⁡(t) ⁢dt
とおく. G⁡(x ) が極大または極小となる点 x と,その点における G⁡ (x) の値を求めよ.
【4】 t を正の数とする. xyz 空間において,点 (t ,t,0 ) を P とし, x 軸を含み点 (t ,t ,1) を通る平面に関して P と対称な点を Q , y 軸を含み ( t,t, 1) を通る平面に関して P と対称な点を R とする.また,原点を O とする.
(1) Q, R の座標を求めよ.
(2) 4 点 O ,P ,Q ,R を頂点とする 4 面体の体積を求めよ.
理科
【1】 a≧1 とする. xy 平面において,不等式 0≦ x≦ π2 ,1≦ y≦a⁢sin ⁡x によって定められる領域の面積を S 1, 不等式 0≦x≦ π 2 ,0≦ y≦a⁢ sin⁡x ,0≦ y≦1 によって定められる領域の面積を S2 とする. S2 -S1 を最大にするような a の値と, S2 -S1 の最大値を求めよ.
【2】 xy 平面において, O を原点, A を定点 ( 1,0) とする.また, P, Q は円周 x 2+y 2=1 の上を動く 2 点であって,線分 OA から正の向きにまわって線分 OP にいたる角と,線分 OP から正の向きにまわって線分 OQ にいたる角が等しいという関係が成り立っているものとする.
点 P を通り x 軸に垂直な直線と x 軸との交点を R , 点 Q を通り x 軸に垂直な直線と x 軸との交点を S とする.実数 l≧ 0 を与えたとき,線分 RS の長さが l と等しくなるような点 P ,Q の位置は何通りあるか.
文科【3】の類題
【3】 t を正の数とする. xyz 空間において,点 (t ,t,0 ) を P とし, x 軸を含み点 (t ,t,1 ) を通る平面に関して P と対称な点を Q , y 軸を含み点 (t ,t,1 ) を通る平面に関して P と対称な点を R とする.また,原点を O とする. 4 点 O ,P , Q, R を頂点とする 4 面体の体積を求めよ.
【4】 a, b を実数とし, A=( a 0a -bb ) とおく.
(1) 行列 An ( n= 1, 2, ⋯) の表す 1 次変換による点 P ( 12, 0) ,Q ( 12, 1) ,R (1, 1) の像をそれぞれ P n, Qn , Rn とし, fn= 3⁢P nQn ‾2 +2 QnRn ‾2 +2⁢ RnP n‾2 とおく.(ここで, CD ‾ は線分 CD の長さを表す.) fn を a, b を用いて表せ.
(2) a=1.1 ,b= 11.1 であるとして, fn の値を最小にするような自然数 n を求めよ.
【5】 0 または正の整数の値をとる変数 X ,Y がある. X が整数 n ( n≧0 ) の値をとる確率と, Y が整数 n ( n ≧0 )の値をとる確率は,ともに pn であるとする. (ここで, ∑ n=0∞ ⁡ pn=1 である.) いま,任意の整数 m ,n (m ≧0 ,n≧ 0) に対して, X=m なる事象と Y= n なる事象は独立であり,また, X+Y =n となる確率は ( n+1) ⁢p n+1 に等しいという.このとき, pn ( n=0 ,1 , 2 ,⋯ ) と ∑n =0∞ ⁡n⁢ pn の値を求めよ.
【6】 xyz 空間において,点 (0, 0,0) を A , 点 (8 ,0,0 ) を B , 点 (6 ,2⁢ 3,0 ) を C とする.点 P が ▵ ABC の辺上を 1 周するとき, P を中心とし半径 1 の球が通過する点全体のつくる立体を K とする.
(1) K を平面 z= 0 で切った切り口の面積を求めよ.
(2) K の体積を求めよ.