1985　東京大学MathJax

【１】　$a\text{，}b$は$a^2+b^2\ne 0$なる実数とし，

$A={\displaystyle \frac{1}{a^2+b^2}}\left(\begin{array}{cc}{a}^2& ab\\ ab& b^2\end{array}\right)\text{，}I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

とおく．行列$A^3\text{，}{(I-A)}^2$の表す一次変換による$\mathrm{P}(x,y)$の像を，それぞれ$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．ただし，$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$はいずれも$\mathrm{P}$と一致しないものとする．

(1)　$\angle \mathrm{QPR}$の大きさを求めよ．

(2)　$▵\mathrm{PQR}$の面積を$a\text{，}b\text{，}x\text{，}y$を用いて表せ．

【２】　図において，$\mathrm{ABCD}$は$1$辺の長さが$1km$の正方形で，$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$はそれぞれ辺$\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{DA}$の中点である．

　いま，甲，乙は同時にそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を出発し，同じ一定の速さで歩くものとする．甲は図の実線で示した道$\mathrm{AMB}$上を進み，乙は実線で示した道$\mathrm{BNC}$上を進み，$30$分後に甲は$\mathrm{B}$に，乙は$\mathrm{C}$に到着した．

　甲，乙が最も近づいたのは出発後何分後か．また，そのときの両者の間の距離はいくらか．

【３】　$n$を$2$以上の整数とする．$x^n+ax+b$（$a\text{，}b$は実数の定数）の形の多項式$f(x)$で

${\displaystyle {\int }_{-1}^0}f(x)dx=0\text{，}{\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(x)dx=0$

を満たすものを考える．この$f(x)$に対して

$F(x)={\displaystyle {\int }_{-1}^x}f(t)dt\text{，}G(x)={\displaystyle {\int }_{-1}^x}F(t)dt$

とおく．$G(x)$が極大または極小となる点$x$と，その点における$G(x)$の値を求めよ．

【４】　$t$を正の数とする．$xyz$空間において，点$(t,t,0)$を$\mathrm{P}$とし，$x$軸を含み点$(t,t,1)$を通る平面に関して$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}\text{，}y$軸を含み$(t,t,1)$を通る平面に関して$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{R}$とする．また，原点を$\mathrm{O}$とする．

(1)　$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(2)　$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を頂点とする$4$面体の体積を求めよ．

【１】　$a\geqq 1$とする．$xy$平面において，不等式$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}1\leqq y\leqq a\sin x$によって定められる領域の面積を$S_1\text{，}$不等式$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}0\leqq y\leqq a\sin x\text{，}0\leqq y\leqq 1$によって定められる領域の面積を$S_2$とする．$S_2-S_1$を最大にするような$a$の値と，$S_2-S_1$の最大値を求めよ．

【２】　$xy$平面において，$\mathrm{O}$を原点，$\mathrm{A}$を定点$(1,0)$とする．また，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は円周$x^2+y^2=1$の上を動く$2$点であって，線分$\mathrm{OA}$から正の向きにまわって線分$\mathrm{OP}$にいたる角と，線分$\mathrm{OP}$から正の向きにまわって線分$\mathrm{OQ}$にいたる角が等しいという関係が成り立っているものとする．

　点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に垂直な直線と$x$軸との交点を$\mathrm{R}\text{，}$点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に垂直な直線と$x$軸との交点を$\mathrm{S}$とする．実数$l\geqq 0$を与えたとき，線分$\mathrm{RS}$の長さが$l$と等しくなるような点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の位置は何通りあるか．

【３】　$t$を正の数とする．$xyz$空間において，点$(t,t,0)$を$\mathrm{P}$とし，$x$軸を含み点$(t,t,1)$を通る平面に関して$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}\text{，}y$軸を含み点$(t,t,1)$を通る平面に関して$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{R}$とする．また，原点を$\mathrm{O}$とする．$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$を頂点とする$4$面体の体積を求めよ．

【４】　$a\text{，}b$を実数とし，$A=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ a-b& b\end{array}\right)$とおく．

(1)　行列$A^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$の表す$1$次変換による点$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{1}{2}},0)\text{，}\mathrm{Q}({\displaystyle \frac{1}{2}},1)\text{，}\mathrm{R}(1,1)$の像をそれぞれ${\mathrm{P}}_n\text{，}{\mathrm{Q}}_n\text{，}{\mathrm{R}}_n$とし，$f_n=3{\overline{{\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n}}^2+2{\overline{{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{R}}_n}}^2+2{\overline{{\mathrm{R}}_n{\mathrm{P}}_n}}^2$とおく．(ここで，$\overline{\mathrm{CD}}$は線分$\mathrm{CD}$の長さを表す．）$f_n$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　$a=1.1\text{，}b={\displaystyle \frac{1}{1.1}}$であるとして，$f_n$の値を最小にするような自然数$n$を求めよ．

【５】　$0$または正の整数の値をとる変数$X\text{，}Y$がある．$X$が整数$n\text{（}n\geqq 0\text{）}$の値をとる確率と，$Y$が整数$n$（$n\geqq 0$）の値をとる確率は，ともに$p_n$であるとする．$(\text{ここで，}{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}{p}_n=1\text{である．})$いま，任意の整数$m\text{，}n\text{（}m\geqq 0\text{，}n\geqq 0\text{）}$に対して，$X=m$なる事象と$Y=n$なる事象は独立であり，また，$X+Y=n$となる確率は$(n+1)p_{n+1}$に等しいという．このとき，$p_n\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$と${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}n{p}_n$の値を求めよ．

【６】　$xyz$空間において，点$(0,0,0)$を$\mathrm{A}\text{，}$点$(8,0,0)$を$\mathrm{B}\text{，}$点$(6,2\sqrt{3},0)$を$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{P}$が$▵\mathrm{ABC}$の辺上を$1$周するとき，$\mathrm{P}$を中心とし半径$1$の球が通過する点全体のつくる立体を$K$とする．

(1)　$K$を平面$z=0$で切った切り口の面積を求めよ．

(2)　$K$の体積を求めよ．