1986　共通一次試験　本試験MathJax

【１】　$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=1\text{，}$$\angle \mathrm{BAC}=90°$である直角三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$上に，それぞれ点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$があり，

$\mathrm{AP}=\mathrm{CR}=x\text{，}$$\mathrm{BQ}=\sqrt{2}x$

を満たしている．このとき，

(1)　${\mathrm{PR}}^2\text{，}$${\mathrm{QP}}^2\text{，}$${\mathrm{RQ}}^2$を$x$を用いて表すと，

• ${\mathrm{PR}}^2=\boxed{\text{ア}}{x}^2-\boxed{\text{イ}}x+\boxed{\text{ウ}}$
• ${\mathrm{QP}}^2=\boxed{\text{エ}}{x}^2-\boxed{\text{オ}}x+\boxed{\text{カ}}$
• ${\mathrm{RQ}}^2=\boxed{\text{キ}}{x}^2-\boxed{\text{ク}}x+\boxed{\text{ケ}}$

である．

(2)　$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$のいずれとも異なるとき，$▵\mathrm{APR}\text{，}$$▵\mathrm{BQP}\text{，}$$▵\mathrm{CRQ}$の外接円の半径は，それぞれ

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\mathrm{PR}\text{，}$${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{2}}\mathrm{QP}\text{，}$${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ス}}}}{2}}\mathrm{RQ}$

である．

(3)　(2)の三つの外接円の面積をそれぞれ$S_1\text{，}$$S_2\text{，}$$S_3$で表す．$x$が$0$と$1$の間を動くとき，$S_1+S_2+S_3$は$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$で最小値${\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}\pi$をとる．

【２】　円$x^2+y^2+8x-4y=0$の中心$\mathrm{C}$の座標は$(\boxed{\text{アイ}},\boxed{\text{ウ}})$で，半径は$\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}$である．

　この円と，原点を中心とするある円とが直線$y=ax+b$に関して対称であれば，

$a=\boxed{\text{カ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{キ}}$

である．このとき，これらの二つの円の交点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とすれば，$\angle \mathrm{ACB}$は$\boxed{\text{クケコ}}°$$\text{（}0°<\angle \mathrm{ACB}<180°\text{）}$であり，$\angle \mathrm{ACB}$を中心角とする扇形$\mathrm{ACB}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{ス}}}}\pi$である．

　また，$▵\mathrm{ACB}$の面積は$\boxed{\text{セ}}\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}$となる．

　したがって，これら二つの円の共通部分の面積は

$\boxed{\text{タチ}}({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}\pi -\sqrt{\boxed{\text{ト}}})$

である．

【３】　$x$についての$2$次方程式$x^2-ax+b=0$の$2$根（二つの解）を$\alpha \text{，}$$\beta$としたとき，$2$次方程式$x^2+bx+a=0$の$2$根（二つの解）は$\alpha -1\text{，}$$\beta -1$であるという．このとき，

• $a=\boxed{\text{アイ}}\text{，}$$b=\boxed{\text{ウエ}}\text{，}$
• ${\alpha }^3=\boxed{\text{オカ}}\text{，}$${\beta }^3=\boxed{\text{キク}}$

である．さらに，自然数$n$をいろいろ変えたとき，${\alpha }^n+{\beta }^n$のとりうる値を小さい方から順に並べると，

$\boxed{\text{ケコ}}\text{，}$$\boxed{\text{サシ}}\text{，}$$\boxed{\text{スセ}}\text{，}$$\boxed{\text{ソタ}}$

となる．

【４】　平面上に平行四辺形$\mathrm{OACB}$があり，この平面上の点$\mathrm{P}$に対し$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

の形に表す．

(1)　$s\text{，}$$t$が関係$5s+2t=3$を満たしながら変わるとき，$\mathrm{P}$はある定直線上を動く．その直線と$2$辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{BC}$との交点をそれぞれ${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{B}}^{\prime }$とするとき，

$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}^{\prime }}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$

である．

(2)　$\mathrm{P}$が平行四辺形$\mathrm{OACB}$の周上または内部にあって，$5s+2t\leqq 3$を満たして動くとき，$\mathrm{P}$が動く領域の面積は，平行四辺形$\mathrm{OACB}$の面積の${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$倍である．

(3)　線分${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$上の点$\mathrm{P}$を通り，$2$辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}$のそれぞれに平行な$2$直線を$l\text{，}$$m$とする．$l\text{，}$$m\text{，}$$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}$で定まる平行四辺形の面積を$S$とする．点$\mathrm{P}$が線分${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$上を動くとき，$S$が最大になるのは，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

となるときである．

【５】　図１のように，平面上に正三角形が敷きつめられている．さいころを振るたびに，点$\mathrm{P}$を一つの頂点から隣の六つの頂点の一つに移動させる．ただし，その向きは出た目の数に対応して図２に示された向きとする．

　点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{O}$から出発するとき，

(1)　$2$回移動した結果，点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{O}$の位置にある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(2)　$3$回移動した結果，点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{O}$の位置にある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エオ}}}}$である．

(3)　図１のように，点$\mathrm{O}$の隣の頂点の一つを$\mathrm{T}$とする．$3$回移動した結果，点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{T}$の位置にある確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キク}}}}$である．

【６】　放物線

$y=x^2+px+q\cdots \text{①}$

があり，これは$x$軸に接している．このとき，

$q={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}{p}^{\boxed{\text{ウ}}}$

である．さらに，放物線$\text{①}$上の点$(3,r)$（ただし，$r\ne 0$）における接線が原点を通っている．この接線の方程式は

$y=\boxed{\text{エオ}}x\cdots \text{②}$

であり，

$p=\boxed{\text{カキ}}\text{，}$$q=\boxed{\text{クケ}}\text{，}$$r=\boxed{\text{コサ}}$

である．

　放物線$\text{①}$と接線$\text{②}$と$x$軸で囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{シス}}$である．